Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0^{+}} {(3 x + 1)}^{\cot (x)}$

Schritt 1

Wende die Logarithmengesetze an, um den Grenzwert zu vereinfachen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Schreibe ${(3 x + 1)}^{\cot (x)}$ als $e^{\ln ({(3 x + 1)}^{\cot (x)})}$ um.

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\ln ({(3 x + 1)}^{\cot (x)})}$

Schritt 1.2

Zerlege $\ln ({(3 x + 1)}^{\cot (x)})$ durch Herausziehen von $\cot (x)$ aus dem Logarithmus.

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\cot (x) \ln (3 x + 1)}$

Schritt 2

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \cot (x) \ln (3 x + 1)}$

Schritt 3

Schreibe $\cot (x) \ln (3 x + 1)$ als $\frac{\ln (3 x + 1)}{\frac{1}{\cot (x)}}$ um.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (3 x + 1)}{\frac{1}{\cot (x)}}}$

Schritt 4

Wende die Regel von de L’Hospital an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$e^{\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (3 x + 1)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cot (x)}}}$

Schritt 4.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.1.1

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to 0^{+}} 3 x + 1)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cot (x)}}}$

Schritt 4.1.2.1.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to 0^{+}} 3 x + lim_{x \to 0^{+}} 1)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cot (x)}}}$

Schritt 4.1.2.1.3

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$e^{\frac{\ln (3 lim_{x \to 0^{+}} x + lim_{x \to 0^{+}} 1)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cot (x)}}}$

Schritt 4.1.2.1.4

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$e^{\frac{\ln (3 lim_{x \to 0^{+}} x + 1)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cot (x)}}}$

Schritt 4.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$e^{\frac{\ln (3 \cdot 0 + 1)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cot (x)}}}$

Schritt 4.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$e^{\frac{\ln (0 + 1)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cot (x)}}}$

Schritt 4.1.2.3.2

Addiere $0$ und $1$ .

$e^{\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cot (x)}}}$

Schritt 4.1.2.3.3

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$e^{\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cot (x)}}}$

Schritt 4.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.3.1

Wende trigonometrische Formeln an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.3.1.1

Schreibe $\cot (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$e^{\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}}}$

Schritt 4.1.3.1.2

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ zu dividieren.

$e^{\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}}$

Schritt 4.1.3.1.3

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$e^{\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \tan (x)}}$

Schritt 4.1.3.2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Tangens stetig ist.

$e^{\frac{0}{\tan (lim_{x \to 0^{+}} x)}}$

Schritt 4.1.3.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$e^{\frac{0}{\tan (0)}}$

Schritt 4.1.3.4

Der genau Wert von $\tan (0)$ ist $0$ .

$e^{\frac{0}{0}}$

Schritt 4.1.3.5

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$e^{\frac{0}{0}}$

Schritt 4.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$e^{\frac{0}{0}}$

Schritt 4.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (3 x + 1)}{\frac{1}{\cot (x)}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (3 x + 1)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]}$

Schritt 4.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (3 x + 1)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]}}$

Schritt 4.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 3 x + 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 x + 1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x + 1]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]}}$

Schritt 4.3.2.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x + 1]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]}}$

Schritt 4.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $3 x + 1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{3 x + 1} \frac{d}{d x} [3 x + 1]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]}}$

Schritt 4.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{3 x + 1} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]}}$

Schritt 4.3.4

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{3 x + 1} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]}}$

Schritt 4.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{3 x + 1} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]}}$

Schritt 4.3.6

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{3 x + 1} (3 + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]}}$

Schritt 4.3.7

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{3 x + 1} (3 + 0)}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]}}$

Schritt 4.3.8

Addiere $3$ und $0$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{3 x + 1} \cdot 3}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]}}$

Schritt 4.3.9

Kombiniere $\frac{1}{3 x + 1}$ und $3$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 x + 1}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\cot (x)}]}}$

Schritt 4.3.10

Schreibe $\cot (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 x + 1}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}]}}$

Schritt 4.3.11

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ zu dividieren.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 x + 1}}{\frac{d}{d x} [1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}]}}$

Schritt 4.3.12

Schreibe $1$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 x + 1}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}]}}$

Schritt 4.3.13

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.13.1

Forme den Ausdruck um.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 x + 1}}{\frac{d}{d x} [1 \frac{\sin (x)}{\cos (x)}]}}$

Schritt 4.3.13.2

Mutltipliziere $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ mit $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 x + 1}}{\frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{\cos (x)}]}}$

Schritt 4.3.14

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = \cos (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 x + 1}}{\frac{\cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] - \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}}}$

Schritt 4.3.15

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 x + 1}}{\frac{\cos (x) \cos (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}}}$

Schritt 4.3.16

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 x + 1}}{\frac{\cos^{1} (x) \cos (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}}}$

Schritt 4.3.17

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 x + 1}}{\frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}}}$

Schritt 4.3.18

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 x + 1}}{\frac{{\cos (x)}^{1 + 1} - \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}}}$

Schritt 4.3.19

Addiere $1$ und $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 x + 1}}{\frac{\cos^{2} (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\cos^{2} (x)}}}$

Schritt 4.3.20

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 x + 1}}{\frac{\cos^{2} (x) - \sin (x) \cdot - 1 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}}}$

Schritt 4.3.21

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 x + 1}}{\frac{\cos^{2} (x) + 1 \sin (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}}}$

Schritt 4.3.22

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 x + 1}}{\frac{\cos^{2} (x) + \sin (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}}}$

Schritt 4.3.23

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 x + 1}}{\frac{\cos^{2} (x) + \sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}}}$

Schritt 4.3.24

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 x + 1}}{\frac{\cos^{2} (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos^{2} (x)}}}$

Schritt 4.3.25

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 x + 1}}{\frac{\cos^{2} (x) + {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos^{2} (x)}}}$

Schritt 4.3.26

Addiere $1$ und $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 x + 1}}{\frac{\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}}$

Schritt 4.3.27

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.27.1

Ordne Terme um.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 x + 1}}{\frac{\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}}$

Schritt 4.3.27.2

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 x + 1}}{\frac{1}{\cos^{2} (x)}}}$

Schritt 4.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{3}{3 x + 1} \cos^{2} (x)}$

Schritt 4.5

Kombiniere $\frac{3}{3 x + 1}$ und $\cos^{2} (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{3 \cos^{2} (x)}{3 x + 1}}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$e^{3 lim_{x \to 0^{+}} \frac{\cos^{2} (x)}{3 x + 1}}$

Schritt 5.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$e^{3 \frac{lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (x)}{lim_{x \to 0^{+}} 3 x + 1}}$

Schritt 5.3

Ziehe den Exponenten $2$ von $\cos^{2} (x)$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$e^{3 \frac{{(lim_{x \to 0^{+}} \cos (x))}^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} 3 x + 1}}$

Schritt 5.4

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$e^{3 \frac{\cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} 3 x + 1}}$

Schritt 5.5

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$e^{3 \frac{\cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} 3 x + lim_{x \to 0^{+}} 1}}$

Schritt 5.6

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$e^{3 \frac{\cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}{3 lim_{x \to 0^{+}} x + lim_{x \to 0^{+}} 1}}$

Schritt 5.7

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$e^{3 \frac{\cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}{3 lim_{x \to 0^{+}} x + 1}}$

Schritt 6

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$e^{3 \frac{\cos^{2} (0)}{3 lim_{x \to 0^{+}} x + 1}}$

Schritt 6.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$e^{3 \frac{\cos^{2} (0)}{3 \cdot 0 + 1}}$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1.1

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$e^{3 \frac{1^{2}}{3 \cdot 0 + 1}}$

Schritt 7.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$e^{3 \frac{1}{3 \cdot 0 + 1}}$

Schritt 7.2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$e^{3 \frac{1}{0 + 1}}$

Schritt 7.2.2

Addiere $0$ und $1$ .

$e^{3 (\frac{1}{1})}$

Schritt 7.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{3 (\frac{1}{1})}$

Schritt 7.3.2

Forme den Ausdruck um.

$e^{3 \cdot 1}$

Schritt 7.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$e^{3}$