Analysis Beispiele

$P (x) = - x^{3} + \frac{27}{2} x^{2} - 60 x + 100$ , $x \geq 5$

Schritt 1

Ermittle die kritischen Punkte.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- x^{3} + \frac{27}{2} x^{2} - 60 x + 100$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{27}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [100]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (- x^{3}) + \frac{d}{d x} (\frac{27}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 60 x) + \frac{d}{d x} (100)$

Schritt 1.1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Schritt 1.1.1.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{3}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = - \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (\frac{27}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 60 x) + \frac{d}{d x} (100)$

Schritt 1.1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f' (x) = - (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{27}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 60 x) + \frac{d}{d x} (100)$

Schritt 1.1.1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (\frac{27}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 60 x) + \frac{d}{d x} (100)$

Schritt 1.1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{27}{2} x^{2}]$ .

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Schritt 1.1.1.3.1

Da $\frac{27}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{27}{2} x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{27}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + \frac{27}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 60 x) + \frac{d}{d x} (100)$

Schritt 1.1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + \frac{27}{2} \cdot (2 x) + \frac{d}{d x} (- 60 x) + \frac{d}{d x} (100)$

Schritt 1.1.1.3.3

Kombiniere $2$ und $\frac{27}{2}$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + \frac{2 \cdot 27}{2} x + \frac{d}{d x} (- 60 x) + \frac{d}{d x} (100)$

Schritt 1.1.1.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $27$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + \frac{54}{2} x + \frac{d}{d x} (- 60 x) + \frac{d}{d x} (100)$

Schritt 1.1.1.3.5

Kombiniere $\frac{54}{2}$ und $x$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + \frac{54 x}{2} + \frac{d}{d x} (- 60 x) + \frac{d}{d x} (100)$

Schritt 1.1.1.3.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $54$ und $2$ .

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Schritt 1.1.1.3.6.1

Faktorisiere $2$ aus $54 x$ heraus.

$f' (x) = - 3 x^{2} + \frac{2 (27 x)}{2} + \frac{d}{d x} (- 60 x) + \frac{d}{d x} (100)$

Schritt 1.1.1.3.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.1.3.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f' (x) = - 3 x^{2} + \frac{2 (27 x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} (- 60 x) + \frac{d}{d x} (100)$

Schritt 1.1.1.3.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (x) = - 3 x^{2} + \frac{2 (27 x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} (- 60 x) + \frac{d}{d x} (100)$

Schritt 1.1.1.3.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (x) = - 3 x^{2} + \frac{27 x}{1} + \frac{d}{d x} (- 60 x) + \frac{d}{d x} (100)$

Schritt 1.1.1.3.6.2.4

Dividiere $27 x$ durch $1$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 27 x + \frac{d}{d x} (- 60 x) + \frac{d}{d x} (100)$

Schritt 1.1.1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 60 x]$ .

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Schritt 1.1.1.4.1

Da $- 60$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 60 x$ nach $x$ gleich $- 60 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 27 x - 60 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (100)$

Schritt 1.1.1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 27 x - 60 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (100)$

Schritt 1.1.1.4.3

Mutltipliziere $- 60$ mit $1$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 27 x - 60 + \frac{d}{d x} (100)$

Schritt 1.1.1.5

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.1.5.1

Da $100$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $100$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 27 x - 60 + 0$

Schritt 1.1.1.5.2

Addiere $- 3 x^{2} + 27 x - 60$ und $0$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 27 x - 60$

Schritt 1.1.2

Die erste Ableitung von $P (x)$ nach $x$ ist $- 3 x^{2} + 27 x - 60$ .

$- 3 x^{2} + 27 x - 60$

Schritt 1.2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- 3 x^{2} + 27 x - 60 = 0$ .

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Schritt 1.2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- 3 x^{2} + 27 x - 60 = 0$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.2.1

Faktorisiere $- 3$ aus $- 3 x^{2} + 27 x - 60$ heraus.

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Schritt 1.2.2.1.1

Faktorisiere $- 3$ aus $- 3 x^{2}$ heraus.

$- 3 x^{2} + 27 x - 60 = 0$

Schritt 1.2.2.1.2

Faktorisiere $- 3$ aus $27 x$ heraus.

$- 3 x^{2} - 3 (- 9 x) - 60 = 0$

Schritt 1.2.2.1.3

Faktorisiere $- 3$ aus $- 60$ heraus.

$- 3 x^{2} - 3 (- 9 x) - 3 \cdot 20 = 0$

Schritt 1.2.2.1.4

Faktorisiere $- 3$ aus $- 3 (x^{2}) - 3 (- 9 x)$ heraus.

$- 3 (x^{2} - 9 x) - 3 \cdot 20 = 0$

Schritt 1.2.2.1.5

Faktorisiere $- 3$ aus $- 3 (x^{2} - 9 x) - 3 (20)$ heraus.

$- 3 (x^{2} - 9 x + 20) = 0$

Schritt 1.2.2.2

Faktorisiere.

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Schritt 1.2.2.2.1

Faktorisiere $x^{2} - 9 x + 20$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.2.2.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $20$ und deren Summe $- 9$ ist.

$- 5, - 4$

Schritt 1.2.2.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$- 3 ((x - 5) (x - 4)) = 0$

Schritt 1.2.2.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- 3 (x - 5) (x - 4) = 0$

Schritt 1.2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

$x - 4 = 0$

Schritt 1.2.4

Setze $x - 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.4.1

Setze $x - 5$ gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

Schritt 1.2.4.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 5$

Schritt 1.2.5

Setze $x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.5.1

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 1.2.5.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 1.2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- 3 (x - 5) (x - 4) = 0$ wahr machen.

$x = 5, 4$

Schritt 1.3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 1.3.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 1.4

Werte $- x^{3} + \frac{27}{2} x^{2} - 60 x + 100$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 1.4.1

Berechne bei $x = 5$ .

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Schritt 1.4.1.1

Ersetze $x$ durch $5$ .

$- {(5)}^{3} + \frac{27}{2} \cdot {(5)}^{2} - 60 \cdot 5 + 100$

Schritt 1.4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.1.2.1.1

Potenziere $5$ mit $3$ .

$- 1 \cdot 125 + \frac{27}{2} \cdot {(5)}^{2} - 60 \cdot 5 + 100$

Schritt 1.4.1.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $125$ .

$- 125 + \frac{27}{2} \cdot {(5)}^{2} - 60 \cdot 5 + 100$

Schritt 1.4.1.2.1.3

Potenziere $5$ mit $2$ .

$- 125 + \frac{27}{2} \cdot 25 - 60 \cdot 5 + 100$

Schritt 1.4.1.2.1.4

Multipliziere $\frac{27}{2} \cdot 25$ .

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Schritt 1.4.1.2.1.4.1

Kombiniere $\frac{27}{2}$ und $25$ .

$- 125 + \frac{27 \cdot 25}{2} - 60 \cdot 5 + 100$

Schritt 1.4.1.2.1.4.2

Mutltipliziere $27$ mit $25$ .

$- 125 + \frac{675}{2} - 60 \cdot 5 + 100$

Schritt 1.4.1.2.1.5

Mutltipliziere $- 60$ mit $5$ .

$- 125 + \frac{675}{2} - 300 + 100$

Schritt 1.4.1.2.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 1.4.1.2.2.1

Schreibe $- 125$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{- 125}{1} + \frac{675}{2} - 300 + 100$

Schritt 1.4.1.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{- 125}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 125}{1} \cdot \frac{2}{2} + \frac{675}{2} - 300 + 100$

Schritt 1.4.1.2.2.3

Mutltipliziere $\frac{- 125}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 125 \cdot 2}{2} + \frac{675}{2} - 300 + 100$

Schritt 1.4.1.2.2.4

Schreibe $- 300$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{- 125 \cdot 2}{2} + \frac{675}{2} + \frac{- 300}{1} + 100$

Schritt 1.4.1.2.2.5

Mutltipliziere $\frac{- 300}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 125 \cdot 2}{2} + \frac{675}{2} + \frac{- 300}{1} \cdot \frac{2}{2} + 100$

Schritt 1.4.1.2.2.6

Mutltipliziere $\frac{- 300}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 125 \cdot 2}{2} + \frac{675}{2} + \frac{- 300 \cdot 2}{2} + 100$

Schritt 1.4.1.2.2.7

Schreibe $100$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{- 125 \cdot 2}{2} + \frac{675}{2} + \frac{- 300 \cdot 2}{2} + \frac{100}{1}$

Schritt 1.4.1.2.2.8

Mutltipliziere $\frac{100}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 125 \cdot 2}{2} + \frac{675}{2} + \frac{- 300 \cdot 2}{2} + \frac{100}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 1.4.1.2.2.9

Mutltipliziere $\frac{100}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 125 \cdot 2}{2} + \frac{675}{2} + \frac{- 300 \cdot 2}{2} + \frac{100 \cdot 2}{2}$

Schritt 1.4.1.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 125 \cdot 2 + 675 - 300 \cdot 2 + 100 \cdot 2}{2}$

Schritt 1.4.1.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.1.2.4.1

Mutltipliziere $- 125$ mit $2$ .

$\frac{- 250 + 675 - 300 \cdot 2 + 100 \cdot 2}{2}$

Schritt 1.4.1.2.4.2

Mutltipliziere $- 300$ mit $2$ .

$\frac{- 250 + 675 - 600 + 100 \cdot 2}{2}$

Schritt 1.4.1.2.4.3

Mutltipliziere $100$ mit $2$ .

$\frac{- 250 + 675 - 600 + 200}{2}$

Schritt 1.4.1.2.5

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 1.4.1.2.5.1

Addiere $- 250$ und $675$ .

$\frac{425 - 600 + 200}{2}$

Schritt 1.4.1.2.5.2

Subtrahiere $600$ von $425$ .

$\frac{- 175 + 200}{2}$

Schritt 1.4.1.2.5.3

Addiere $- 175$ und $200$ .

$\frac{25}{2}$

Schritt 1.4.2

Berechne bei $x = 4$ .

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Schritt 1.4.2.1

Ersetze $x$ durch $4$ .

$- {(4)}^{3} + \frac{27}{2} \cdot {(4)}^{2} - 60 \cdot 4 + 100$

Schritt 1.4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 1.4.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.2.2.1.1

Potenziere $4$ mit $3$ .

$- 1 \cdot 64 + \frac{27}{2} \cdot {(4)}^{2} - 60 \cdot 4 + 100$

Schritt 1.4.2.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $64$ .

$- 64 + \frac{27}{2} \cdot {(4)}^{2} - 60 \cdot 4 + 100$

Schritt 1.4.2.2.1.3

Potenziere $4$ mit $2$ .

$- 64 + \frac{27}{2} \cdot 16 - 60 \cdot 4 + 100$

Schritt 1.4.2.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.4.2.2.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$- 64 + \frac{27}{2} \cdot (2 (8)) - 60 \cdot 4 + 100$

Schritt 1.4.2.2.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 64 + \frac{27}{2} \cdot (2 \cdot 8) - 60 \cdot 4 + 100$

Schritt 1.4.2.2.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$- 64 + 27 \cdot 8 - 60 \cdot 4 + 100$

Schritt 1.4.2.2.1.5

Mutltipliziere $27$ mit $8$ .

$- 64 + 216 - 60 \cdot 4 + 100$

Schritt 1.4.2.2.1.6

Mutltipliziere $- 60$ mit $4$ .

$- 64 + 216 - 240 + 100$

Schritt 1.4.2.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 1.4.2.2.2.1

Addiere $- 64$ und $216$ .

$152 - 240 + 100$

Schritt 1.4.2.2.2.2

Subtrahiere $240$ von $152$ .

$- 88 + 100$

Schritt 1.4.2.2.2.3

Addiere $- 88$ und $100$ .

$12$

Schritt 1.4.3

Liste all Punkte auf.

$(5, \frac{25}{2}), (4, 12)$

Schritt 2

Schließe die Punkte aus, die nicht im Intervall liegen.

$(5, \frac{25}{2})$

Schritt 3

Da es keinen Wert von $x$ gibt, der die erste Ableitung gleich $0$ macht, gibt es keine lokalen Extrema.

Keine lokalen Extrema

Schritt 4

Vergleiche die für jeden Wert von $x$ gefundenen $P (x)$ -Werte, um das absolute Maximum und das absolute Minimum im angegebenen Intervall zu bestimmen. Das Maximum wird beim größten $P (x)$ -Wert und das Minimum beim niedrigsten $P (x)$ -Wert auftreten.

Absolutes Maximum: $(5, \frac{25}{2})$

Kein absolutes Minimum

Schritt 5