Analysis Beispiele

$g (x) = \frac{x^{2} + 4}{4 - x^{2}}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{2} + 4$ und $g (x) = 4 - x^{2}$ .

$\frac{(4 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + 4] - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{(4 - x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{(4 - x^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [4]) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.2.3

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(4 - x^{2}) (2 x + 0) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.4.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{(4 - x^{2}) (2 x) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.2.4.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $4 - x^{2}$ .

$\frac{2 \cdot (4 - x^{2}) x - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.2.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{2 (4 - x^{2}) x - (x^{2} + 4) (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.2.6

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{2 (4 - x^{2}) x - (x^{2} + 4) (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.2.7

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{2 (4 - x^{2}) x - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.2.8

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{2 (4 - x^{2}) x - (x^{2} + 4) (- \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.2.9

Multipliziere.

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Schritt 1.2.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{2 (4 - x^{2}) x + 1 (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.2.9.2

Mutltipliziere $x^{2} + 4$ mit $1$ .

$\frac{2 (4 - x^{2}) x + (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.2.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{2 (4 - x^{2}) x + (x^{2} + 4) (2 x)}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.2.11

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2} + 4$ .

$\frac{2 (4 - x^{2}) x + 2 \cdot (x^{2} + 4) x}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(2 \cdot 4 + 2 (- x^{2})) x + 2 (x^{2} + 4) x}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 \cdot 4 x + 2 (- x^{2}) x + 2 (x^{2} + 4) x}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 \cdot 4 x + 2 (- x^{2}) x + (2 x^{2} + 2 \cdot 4) x}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.3.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 \cdot 4 x + 2 (- x^{2}) x + 2 x^{2} x + 2 \cdot 4 x}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.5.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{8 x + 2 (- x^{2}) x + 2 x^{2} x + 2 \cdot 4 x}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.3.5.1.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.5.1.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{8 x + 2 (- (x \cdot x^{2})) + 2 x^{2} x + 2 \cdot 4 x}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.3.5.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 1.3.5.1.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{8 x + 2 (- (x^{1} x^{2})) + 2 x^{2} x + 2 \cdot 4 x}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.3.5.1.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{8 x + 2 (- x^{1 + 2}) + 2 x^{2} x + 2 \cdot 4 x}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.3.5.1.2.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{8 x + 2 (- x^{3}) + 2 x^{2} x + 2 \cdot 4 x}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.3.5.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{8 x - 2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot 4 x}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.3.5.1.4

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.5.1.4.1

Bewege $x$ .

$\frac{8 x - 2 x^{3} + 2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot 4 x}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.3.5.1.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 1.3.5.1.4.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{8 x - 2 x^{3} + 2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot 4 x}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.3.5.1.4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{8 x - 2 x^{3} + 2 x^{1 + 2} + 2 \cdot 4 x}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.3.5.1.4.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{8 x - 2 x^{3} + 2 x^{3} + 2 \cdot 4 x}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.3.5.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{8 x - 2 x^{3} + 2 x^{3} + 8 x}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.3.5.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $8 x - 2 x^{3} + 2 x^{3} + 8 x$ .

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Schritt 1.3.5.2.1

Addiere $- 2 x^{3}$ und $2 x^{3}$ .

$\frac{8 x + 0 + 8 x}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.3.5.2.2

Addiere $8 x$ und $0$ .

$\frac{8 x + 8 x}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.3.5.3

Addiere $8 x$ und $8 x$ .

$\frac{16 x}{{(4 - x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.3.6

Stelle die Terme um.

$\frac{16 x}{{(- x^{2} + 4)}^{2}}$

Schritt 1.3.7

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.3.7.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{16 x}{{(- x^{2} + 2^{2})}^{2}}$

Schritt 1.3.7.2

Stelle $- x^{2}$ und $2^{2}$ um.

$\frac{16 x}{{(2^{2} - x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.3.7.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 2$ und $b = x$ .

$\frac{16 x}{{((2 + x) (2 - x))}^{2}}$

Schritt 1.3.7.4

Wende die Produktregel auf $(2 + x) (2 - x)$ an.

$f' (x) = \frac{16 x}{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2}}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Da $16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{16 x}{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2}}$ nach $x$ gleich $16 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2}}]$ .

$16 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2}}]$

Schritt 2.2

$16 \frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2}]}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$16 \frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2}]}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere ${(2 + x)}^{2}$ mit $1$ .

$16 \frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2}]}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = {(2 + x)}^{2}$ und $g (x) = {(2 - x)}^{2}$ .

$16 \frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x ({(2 + x)}^{2} \frac{d}{d x} [{(2 - x)}^{2}] + {(2 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [{(2 + x)}^{2}])}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = 2 - x$ .

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Schritt 2.5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $2 - x$ .

$16 \frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x ({(2 + x)}^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [{(2 + x)}^{2}])}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$16 \frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x ({(2 + x)}^{2} (2 u_{1} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [{(2 + x)}^{2}])}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.5.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $2 - x$ .

$16 \frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x ({(2 + x)}^{2} (2 (2 - x) \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [{(2 + x)}^{2}])}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.6

Differenziere.

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Schritt 2.6.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${(2 + x)}^{2}$ .

$16 \frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (2 \cdot {(2 + x)}^{2} (2 - x) \frac{d}{d x} [2 - x] + {(2 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [{(2 + x)}^{2}])}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.6.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$16 \frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x]) + {(2 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [{(2 + x)}^{2}])}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.6.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$16 \frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + {(2 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [{(2 + x)}^{2}])}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.6.4

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$16 \frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) \frac{d}{d x} [- x] + {(2 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [{(2 + x)}^{2}])}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.6.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$16 \frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) (- \frac{d}{d x} [x]) + {(2 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [{(2 + x)}^{2}])}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.6.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$16 \frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) \frac{d}{d x} [x] + {(2 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [{(2 + x)}^{2}])}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.6.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$16 \frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) \cdot 1 + {(2 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [{(2 + x)}^{2}])}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.6.8

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$16 \frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) + {(2 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [{(2 + x)}^{2}])}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.7

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = 2 + x$ .

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Schritt 2.7.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $2 + x$ .

$16 \frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) + {(2 - x)}^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [2 + x]))}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.7.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$16 \frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) + {(2 - x)}^{2} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [2 + x]))}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.7.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $2 + x$ .

$16 \frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) + {(2 - x)}^{2} (2 (2 + x) \frac{d}{d x} [2 + x]))}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.8

Differenziere.

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Schritt 2.8.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${(2 - x)}^{2}$ .

$16 \frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) + 2 \cdot {(2 - x)}^{2} (2 + x) \frac{d}{d x} [2 + x])}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.8.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 + x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$16 \frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) + 2 {(2 - x)}^{2} (2 + x) (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]))}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.8.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$16 \frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) + 2 {(2 - x)}^{2} (2 + x) (0 + \frac{d}{d x} [x]))}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.8.4

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [x]$ .

$16 \frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) + 2 {(2 - x)}^{2} (2 + x) \frac{d}{d x} [x])}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.8.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$16 \frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) + 2 {(2 - x)}^{2} (2 + x) \cdot 1)}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.8.6

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.8.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$16 \frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) + 2 {(2 - x)}^{2} (2 + x))}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.8.6.2

Kombiniere $16$ und $\frac{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) + 2 {(2 - x)}^{2} (2 + x))}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}}$ .

$\frac{16 ({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) + 2 {(2 - x)}^{2} (2 + x)))}{{({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9

Vereinfache.

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Schritt 2.9.1

Wende die Produktregel auf ${(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2}$ an.

$\frac{16 ({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x) + 2 {(2 - x)}^{2} (2 + x)))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{16 ({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} - x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x)) - x (2 {(2 - x)}^{2} (2 + x)))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{16 ({(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2}) + 16 (- x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x))) + 16 (- x (2 {(2 - x)}^{2} (2 + x)))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.9.4.1

Faktorisiere $16 (2 + x) (2 - x)$ aus $16 {(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2} + 16 (- x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x))) + 16 (- x (2 {(2 - x)}^{2} (2 + x)))$ heraus.

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Schritt 2.9.4.1.1

Faktorisiere $16 (2 + x) (2 - x)$ aus $16 {(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2}$ heraus.

$\frac{16 (2 + x) (2 - x) ((2 + x) (2 - x)) + 16 (- x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x))) + 16 (- x (2 {(2 - x)}^{2} (2 + x)))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.4.1.2

Faktorisiere $16 (2 + x) (2 - x)$ aus $16 (- x (- 2 {(2 + x)}^{2} (2 - x)))$ heraus.

$\frac{16 (2 + x) (2 - x) ((2 + x) (2 - x)) + 16 (2 + x) (2 - x) (- x (- 2 (2 + x))) + 16 (- x (2 {(2 - x)}^{2} (2 + x)))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.4.1.3

Faktorisiere $16 (2 + x) (2 - x)$ aus $16 (- x (2 {(2 - x)}^{2} (2 + x)))$ heraus.

$\frac{16 (2 + x) (2 - x) ((2 + x) (2 - x)) + 16 (2 + x) (2 - x) (- x (- 2 (2 + x))) + 16 (2 + x) (2 - x) (- x (2 (2 - x)))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.4.1.4

Faktorisiere $16 (2 + x) (2 - x)$ aus $16 (2 + x) (2 - x) ((2 + x) (2 - x)) + 16 (2 + x) (2 - x) (- x (- 2 (2 + x)))$ heraus.

$\frac{16 (2 + x) (2 - x) ((2 + x) (2 - x) - x (- 2 (2 + x))) + 16 (2 + x) (2 - x) (- x (2 (2 - x)))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.4.1.5

Faktorisiere $16 (2 + x) (2 - x)$ aus $16 (2 + x) (2 - x) ((2 + x) (2 - x) - x (- 2 (2 + x))) + 16 (2 + x) (2 - x) (- x (2 (2 - x)))$ heraus.

$\frac{16 (2 + x) (2 - x) ((2 + x) (2 - x) - x (- 2 (2 + x)) - x (2 (2 - x)))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.4.2

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 2.9.4.2.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$\frac{16 (2 + x) (2 - x) ((2 + x) (2 - x) + 2 x (2 + x) - x (2 (2 - x)))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.4.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{16 (2 + x) (2 - x) ((2 + x) (2 - x) + 2 x (2 + x) - 2 x (2 - x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.4.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.9.4.3.1

Multipliziere $(2 + x) (2 - x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.9.4.3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{16 (2 + x) (2 - x) (2 (2 - x) + x (2 - x) + 2 x (2 + x) - 2 x (2 - x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.4.3.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{16 (2 + x) (2 - x) (2 \cdot 2 + 2 (- x) + x (2 - x) + 2 x (2 + x) - 2 x (2 - x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.4.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{16 (2 + x) (2 - x) (2 \cdot 2 + 2 (- x) + x \cdot 2 + x (- x) + 2 x (2 + x) - 2 x (2 - x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.4.3.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.9.4.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.9.4.3.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 + 2 (- x) + x \cdot 2 + x (- x) + 2 x (2 + x) - 2 x (2 - x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.4.3.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 - 2 x + x \cdot 2 + x (- x) + 2 x (2 + x) - 2 x (2 - x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.4.3.2.1.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 - 2 x + 2 \cdot x + x (- x) + 2 x (2 + x) - 2 x (2 - x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.4.3.2.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 - 2 x + 2 x - x \cdot x + 2 x (2 + x) - 2 x (2 - x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.4.3.2.1.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.9.4.3.2.1.5.1

Bewege $x$ .

$\frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 - 2 x + 2 x - (x \cdot x) + 2 x (2 + x) - 2 x (2 - x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.4.3.2.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 - 2 x + 2 x - x^{2} + 2 x (2 + x) - 2 x (2 - x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.4.3.2.2

Addiere $- 2 x$ und $2 x$ .

$\frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 + 0 - x^{2} + 2 x (2 + x) - 2 x (2 - x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.4.3.2.3

Addiere $4$ und $0$ .

$\frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 - x^{2} + 2 x (2 + x) - 2 x (2 - x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.4.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 - x^{2} + 2 x \cdot 2 + 2 x \cdot x - 2 x (2 - x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.4.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 - x^{2} + 4 x + 2 x \cdot x - 2 x (2 - x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.4.3.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.9.4.3.5.1

Bewege $x$ .

$\frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 - x^{2} + 4 x + 2 (x \cdot x) - 2 x (2 - x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.4.3.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 - x^{2} + 4 x + 2 x^{2} - 2 x (2 - x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.4.3.6

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 - x^{2} + 4 x + 2 x^{2} - 2 x \cdot 2 - 2 x (- x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.4.3.7

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$\frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 - x^{2} + 4 x + 2 x^{2} - 4 x - 2 x (- x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.4.3.8

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 - x^{2} + 4 x + 2 x^{2} - 4 x - 2 \cdot - 1 x \cdot x)}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.4.3.9

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.9.4.3.9.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.9.4.3.9.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 - x^{2} + 4 x + 2 x^{2} - 4 x - 2 \cdot - 1 (x \cdot x))}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.4.3.9.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 - x^{2} + 4 x + 2 x^{2} - 4 x - 2 \cdot - 1 x^{2})}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.4.3.9.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$\frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 - x^{2} + 4 x + 2 x^{2} - 4 x + 2 x^{2})}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.4.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $4 - x^{2} + 4 x + 2 x^{2} - 4 x + 2 x^{2}$ .

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Schritt 2.9.4.4.1

Subtrahiere $4 x$ von $4 x$ .

$\frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 - x^{2} + 2 x^{2} + 0 + 2 x^{2})}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.4.4.2

Addiere $4 - x^{2} + 2 x^{2}$ und $0$ .

$\frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 - x^{2} + 2 x^{2} + 2 x^{2})}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.4.5

Addiere $- x^{2}$ und $2 x^{2}$ .

$\frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 + x^{2} + 2 x^{2})}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.4.6

Addiere $x^{2}$ und $2 x^{2}$ .

$\frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 + 3 x^{2})}{{({(2 + x)}^{2})}^{2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.5

Vereine die Terme

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Schritt 2.9.5.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(2 + x)}^{2})}^{2}$ .

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Schritt 2.9.5.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 + 3 x^{2})}{{(2 + x)}^{2 \cdot 2} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.5.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 + 3 x^{2})}{{(2 + x)}^{4} {({(2 - x)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.9.5.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(2 - x)}^{2})}^{2}$ .

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Schritt 2.9.5.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 + 3 x^{2})}{{(2 + x)}^{4} {(2 - x)}^{2 \cdot 2}}$

Schritt 2.9.5.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{16 (2 + x) (2 - x) (4 + 3 x^{2})}{{(2 + x)}^{4} {(2 - x)}^{4}}$

Schritt 2.9.5.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2 + x$ und ${(2 + x)}^{4}$ .

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Schritt 2.9.5.3.1

Faktorisiere $2 + x$ aus $16 (2 + x) (2 - x) (4 + 3 x^{2})$ heraus.

$\frac{(2 + x) ((16 (2 - x)) (4 + 3 x^{2}))}{{(2 + x)}^{4} {(2 - x)}^{4}}$

Schritt 2.9.5.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.9.5.3.2.1

Faktorisiere $2 + x$ aus ${(2 + x)}^{4} {(2 - x)}^{4}$ heraus.

$\frac{(2 + x) ((16 (2 - x)) (4 + 3 x^{2}))}{(2 + x) ({(2 + x)}^{3} {(2 - x)}^{4})}$

Schritt 2.9.5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(2 + x) ((16 (2 - x)) (4 + 3 x^{2}))}{(2 + x) ({(2 + x)}^{3} {(2 - x)}^{4})}$

Schritt 2.9.5.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(16 (2 - x)) (4 + 3 x^{2})}{{(2 + x)}^{3} {(2 - x)}^{4}}$

Schritt 2.9.5.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2 - x$ und ${(2 - x)}^{4}$ .

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Schritt 2.9.5.4.1

Faktorisiere $2 - x$ aus $16 (2 - x) (4 + 3 x^{2})$ heraus.

$\frac{(2 - x) (16 (4 + 3 x^{2}))}{{(2 + x)}^{3} {(2 - x)}^{4}}$

Schritt 2.9.5.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.9.5.4.2.1

Faktorisiere $2 - x$ aus ${(2 + x)}^{3} {(2 - x)}^{4}$ heraus.

$\frac{(2 - x) (16 (4 + 3 x^{2}))}{(2 - x) ({(2 + x)}^{3} {(2 - x)}^{3})}$

Schritt 2.9.5.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(2 - x) (16 (4 + 3 x^{2}))}{(2 - x) ({(2 + x)}^{3} {(2 - x)}^{3})}$

Schritt 2.9.5.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = \frac{16 (4 + 3 x^{2})}{{(2 + x)}^{3} {(2 - x)}^{3}}$

Schritt 3

Die zweite Ableitung von $g (x)$ nach $x$ ist $\frac{16 (4 + 3 x^{2})}{{(2 + x)}^{3} {(2 - x)}^{3}}$ .

$\frac{16 (4 + 3 x^{2})}{{(2 + x)}^{3} {(2 - x)}^{3}}$