Analysis Beispiele

$y = \ln (e^{x} + x e^{x})$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (e^{x} + x e^{x}))$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = e^{x} + x e^{x}$ .

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Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $e^{x} + x e^{x}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [e^{x} + x e^{x}]$

Schritt 3.1.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [e^{x} + x e^{x}]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $e^{x} + x e^{x}$ .

$\frac{1}{e^{x} + x e^{x}} \frac{d}{d x} [e^{x} + x e^{x}]$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{x} + x e^{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$\frac{1}{e^{x} + x e^{x}} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [x e^{x}])$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{1}{e^{x} + x e^{x}} (e^{x} + \frac{d}{d x} [x e^{x}])$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{1}{e^{x} + x e^{x}} (e^{x} + x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{1}{e^{x} + x e^{x}} (e^{x} + x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 3.6.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{e^{x} + x e^{x}} (e^{x} + x e^{x} + e^{x} \cdot 1)$

Schritt 3.6.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 3.6.2.1

Mutltipliziere $e^{x}$ mit $1$ .

$\frac{1}{e^{x} + x e^{x}} (e^{x} + x e^{x} + e^{x})$

Schritt 3.6.2.2

Addiere $e^{x}$ und $e^{x}$ .

$\frac{1}{e^{x} + x e^{x}} (x e^{x} + 2 e^{x})$

Schritt 3.7

Vereinfache.

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Schritt 3.7.1

Stelle die Faktoren von $\frac{1}{e^{x} + x e^{x}} (x e^{x} + 2 e^{x})$ um.

$(x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{1}{e^{x} + x e^{x}}$

Schritt 3.7.2

Faktorisiere $e^{x}$ aus $e^{x} + x e^{x}$ heraus.

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Schritt 3.7.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$(x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{1}{e^{x} \cdot 1 + x e^{x}}$

Schritt 3.7.2.2

Faktorisiere $e^{x}$ aus $x e^{x}$ heraus.

$(x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{1}{e^{x} \cdot 1 + e^{x} x}$

Schritt 3.7.2.3

Faktorisiere $e^{x}$ aus $e^{x} \cdot 1 + e^{x} x$ heraus.

$(x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{1}{e^{x} (1 + x)}$

Schritt 3.7.3

Mutltipliziere $x e^{x} + 2 e^{x}$ mit $\frac{1}{e^{x} (1 + x)}$ .

$\frac{x e^{x} + 2 e^{x}}{e^{x} (1 + x)}$

Schritt 3.7.4

Faktorisiere $e^{x}$ aus $x e^{x} + 2 e^{x}$ heraus.

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Schritt 3.7.4.1

Faktorisiere $e^{x}$ aus $x e^{x}$ heraus.

$\frac{e^{x} x + 2 e^{x}}{e^{x} (1 + x)}$

Schritt 3.7.4.2

Faktorisiere $e^{x}$ aus $2 e^{x}$ heraus.

$\frac{e^{x} x + e^{x} \cdot 2}{e^{x} (1 + x)}$

Schritt 3.7.4.3

Faktorisiere $e^{x}$ aus $e^{x} x + e^{x} \cdot 2$ heraus.

$\frac{e^{x} (x + 2)}{e^{x} (1 + x)}$

Schritt 3.7.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{x}$ .

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Schritt 3.7.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{x} (x + 2)}{e^{x} (1 + x)}$

Schritt 3.7.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x + 2}{1 + x}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = \frac{x + 2}{1 + x}$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x + 2}{1 + x}$