Analysis Beispiele

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 9}$ , $x = 4$

Schritt 1

Bestimme den entsprechenden $y$ -Wert zu $x = 4$ .

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Schritt 1.1

Setze $4$ für $x$ ein.

$y = \sqrt{{(4)}^{2} + 9}$

Schritt 1.2

Vereinfache $\sqrt{{(4)}^{2} + 9}$ .

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Schritt 1.2.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$y = \sqrt{16 + 9}$

Schritt 1.2.2

Addiere $16$ und $9$ .

$y = \sqrt{25}$

Schritt 1.2.3

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$y = \sqrt{5^{2}}$

Schritt 1.2.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$y = 5$

Schritt 2

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 4$ und $y = 5$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x^{2} + 9}$ als ${(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = x^{2} + 9$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + 9$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 9$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Schritt 2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Schritt 2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Schritt 2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Schritt 2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Schritt 2.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Schritt 2.7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Schritt 2.7.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Schritt 2.7.3

Bringe ${(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]$

Schritt 2.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9])$

Schritt 2.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [9])$

Schritt 2.10

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)$

Schritt 2.11

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.11.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)$

Schritt 2.11.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}} x$

Schritt 2.11.3

Kombiniere $\frac{2}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.11.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.11.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.12

Bestimme die Ableitung bei $x = 4$ .

$\frac{4}{{({(4)}^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.13

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.13.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\frac{4}{{(16 + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.13.2

Addiere $16$ und $9$ .

$\frac{4}{25^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.13.3

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$\frac{4}{{(5^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.13.4

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4}{5^{2 (\frac{1}{2})}}$

Schritt 2.13.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.13.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4}{5^{2 (\frac{1}{2})}}$

Schritt 2.13.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4}{5^{1}}$

Schritt 2.13.6

Berechne den Exponenten.

$\frac{4}{5}$

Schritt 3

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 3.1

Benutze die Steigung $\frac{4}{5}$ und einen gegebenen Punkt $(4, 5)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (5) = \frac{4}{5} \cdot (x - (4))$

Schritt 3.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 5 = \frac{4}{5} \cdot (x - 4)$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache $\frac{4}{5} \cdot (x - 4)$ .

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Schritt 3.3.1.1

Forme um.

$y - 5 = 0 + 0 + \frac{4}{5} \cdot (x - 4)$

Schritt 3.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - 5 = \frac{4}{5} \cdot (x - 4)$

Schritt 3.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 5 = \frac{4}{5} x + \frac{4}{5} \cdot - 4$

Schritt 3.3.1.4

Kombiniere $\frac{4}{5}$ und $x$ .

$y - 5 = \frac{4 x}{5} + \frac{4}{5} \cdot - 4$

Schritt 3.3.1.5

Multipliziere $\frac{4}{5} \cdot - 4$ .

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Schritt 3.3.1.5.1

Kombiniere $\frac{4}{5}$ und $- 4$ .

$y - 5 = \frac{4 x}{5} + \frac{4 \cdot - 4}{5}$

Schritt 3.3.1.5.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 4$ .

$y - 5 = \frac{4 x}{5} + \frac{- 16}{5}$

Schritt 3.3.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y - 5 = \frac{4 x}{5} - \frac{16}{5}$

Schritt 3.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.2.1

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = \frac{4 x}{5} - \frac{16}{5} + 5$

Schritt 3.3.2.2

Um $5$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{4 x}{5} - \frac{16}{5} + 5 \cdot \frac{5}{5}$

Schritt 3.3.2.3

Kombiniere $5$ und $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{4 x}{5} - \frac{16}{5} + \frac{5 \cdot 5}{5}$

Schritt 3.3.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{4 x}{5} + \frac{- 16 + 5 \cdot 5}{5}$

Schritt 3.3.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.2.5.1

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$y = \frac{4 x}{5} + \frac{- 16 + 25}{5}$

Schritt 3.3.2.5.2

Addiere $- 16$ und $25$ .

$y = \frac{4 x}{5} + \frac{9}{5}$

Schritt 3.3.3

Stelle die Terme um.

$y = \frac{4}{5} x + \frac{9}{5}$

Schritt 4