Analysis Beispiele

$\int [\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + x] d x$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$\int \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + x d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} d x + \int x d x$

Schritt 3

Multipliziere mit $1$ .

$\int \frac{\sin (x) \cdot 1}{\cos^{2} (x)} d x + \int x d x$

Schritt 4

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $\cos^{2} (x)$ heraus.

$\int \frac{\sin (x) \cdot 1}{\cos (x) \cos (x)} d x + \int x d x$

Schritt 5

Separiere Brüche.

$\int \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)} d x + \int x d x$

Schritt 6

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$\int \tan (x) \frac{1}{\cos (x)} d x + \int x d x$

Schritt 7

Wandle von $\frac{1}{\cos (x)}$ nach $\sec (x)$ um.

$\int \tan (x) \sec (x) d x + \int x d x$

Schritt 8

Da die Ableitung von $\sec (x)$ gleich $\tan (x) \sec (x)$ ist, ist das Integral von $\tan (x) \sec (x)$ gleich $\sec (x)$ .

$\sec (x) + C + \int x d x$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\sec (x) + C + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 10

Vereinfache.

$\sec (x) + \frac{1}{2} x^{2} + C$