Analysis Beispiele

$\sqrt{1 - t^{2}}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{1 - t^{2}}$ als ${(1 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d t} [{(1 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ und $g (t) = 1 - t^{2}$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $1 - t^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $1 - t^{2}$ .

$\frac{1}{2} {(1 - t^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

Schritt 3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(1 - t^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

Schritt 4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(1 - t^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} {(1 - t^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} {(1 - t^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

Schritt 6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} {(1 - t^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

Schritt 7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} {(1 - t^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

Schritt 7.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(1 - t^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(1 - t^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

Schritt 7.3

Bringe ${(1 - t^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(1 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [1 - t^{2}]$

Schritt 8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - t^{2}$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- t^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(1 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- t^{2}])$

Schritt 9

Da $1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$\frac{1}{2 {(1 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d t} [- t^{2}])$

Schritt 10

Addiere $0$ und $\frac{d}{d t} [- t^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(1 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [- t^{2}]$

Schritt 11

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- t^{2}$ nach $t$ gleich $- \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(1 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Schritt 12

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(1 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 t))$

Schritt 13

Vereinfache Terme.

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Schritt 13.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2 {(1 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 t)$

Schritt 13.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{2 {(1 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2}{2 {(1 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} t$

Schritt 13.3

Kombiniere $\frac{- 2}{2 {(1 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ und $t$ .

$\frac{- 2 t}{2 {(1 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 13.4

Faktorisiere $2$ aus $- 2 t$ heraus.

$\frac{2 (- t)}{2 {(1 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 14

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 14.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(1 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{2 (- t)}{2 ({(1 - t^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 14.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (- t)}{2 {(1 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 14.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- t}{{(1 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 15

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{t}{{(1 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$