Analysis Beispiele

$\frac{(\sin (x))}{e^{x}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [\sin (x)] - \sin (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

Schritt 2

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{x})}^{2}$ .

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Schritt 2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [\sin (x)] - \sin (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

Schritt 2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [\sin (x)] - \sin (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Schritt 3

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$\frac{e^{x} \cos (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{e^{x} \cos (x) - \sin (x) e^{x}}{e^{2 x}}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Stelle die Faktoren in $e^{x} \cos (x) - \sin (x) e^{x}$ um.

$\frac{e^{x} \cos (x) - e^{x} \sin (x)}{e^{2 x}}$

Schritt 5.2

Faktorisiere $e^{x}$ aus $e^{x} \cos (x) - e^{x} \sin (x)$ heraus.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $e^{x}$ aus $e^{x} \cos (x)$ heraus.

$\frac{e^{x} (\cos (x)) - e^{x} \sin (x)}{e^{2 x}}$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere $e^{x}$ aus $- e^{x} \sin (x)$ heraus.

$\frac{e^{x} (\cos (x)) + e^{x} (- \sin (x))}{e^{2 x}}$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $e^{x}$ aus $e^{x} (\cos (x)) + e^{x} (- \sin (x))$ heraus.

$\frac{e^{x} (\cos (x) - \sin (x))}{e^{2 x}}$

Schritt 5.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $e^{x}$ und $e^{2 x}$ .

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $e^{2 x}$ aus $e^{x} (\cos (x) - \sin (x))$ heraus.

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (\cos (x) - \sin (x)))}{e^{2 x}}$

Schritt 5.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (\cos (x) - \sin (x)))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Schritt 5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (\cos (x) - \sin (x)))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Schritt 5.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{e^{- x} (\cos (x) - \sin (x))}{1}$

Schritt 5.3.2.4

Dividiere $e^{- x} (\cos (x) - \sin (x))$ durch $1$ .

$e^{- x} (\cos (x) - \sin (x))$

Schritt 5.4

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{- x} \cos (x) + e^{- x} (- \sin (x))$

Schritt 5.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{- x} \cos (x) - e^{- x} \sin (x)$