Analysis Beispiele

$lim_{x \to \infty} {(e^{3 x} + 5)}^{\frac{2}{x}}$

Schritt 1

Wende die Logarithmengesetze an, um den Grenzwert zu vereinfachen.

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Schritt 1.1

Schreibe ${(e^{3 x} + 5)}^{\frac{2}{x}}$ als $e^{\ln ({(e^{3 x} + 5)}^{\frac{2}{x}})}$ um.

$lim_{x \to \infty} e^{\ln ({(e^{3 x} + 5)}^{\frac{2}{x}})}$

Schritt 1.2

Zerlege $\ln ({(e^{3 x} + 5)}^{\frac{2}{x}})$ durch Herausziehen von $\frac{2}{x}$ aus dem Logarithmus.

$lim_{x \to \infty} e^{\frac{2}{x} \ln (e^{3 x} + 5)}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} \ln (e^{3 x} + 5)}$

Schritt 2.2

Kombiniere $\frac{2}{x}$ und $\ln (e^{3 x} + 5)$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{2 \ln (e^{3 x} + 5)}{x}}$

Schritt 2.3

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\ln (e^{3 x} + 5)}{x}}$

Schritt 3

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 3.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$e^{2 \frac{lim_{x \to \infty} \ln (e^{3 x} + 5)}{lim_{x \to \infty} x}}$

Schritt 3.1.2

Da der Logarithmus gegen unendlich geht, geht der Wert gegen $\infty$ .

$e^{2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x}}$

Schritt 3.1.3

Der Grenzwert im Unendlichen eines Polynoms, dessen Leitkoeffizient positiv ist, ist unendlich.

$e^{2 \frac{\infty}{\infty}}$

Schritt 3.1.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$e^{2 \frac{\infty}{\infty}}$

Schritt 3.2

Da $\frac{\infty}{\infty}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (e^{3 x} + 5)}{x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (e^{3 x} + 5)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (e^{3 x} + 5)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = e^{3 x} + 5$ .

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Schritt 3.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $e^{3 x} + 5$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [e^{3 x} + 5]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 3.3.2.2

Die Ableitung von $\ln (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{u_{1}}$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [e^{3 x} + 5]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 3.3.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $e^{3 x} + 5$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + 5} \frac{d}{d x} [e^{3 x} + 5]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 3.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{3 x} + 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + 5} (\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 3.3.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 3 x$ .

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Schritt 3.3.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $3 x$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + 5} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 3.3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ gleich $a^{u_{2}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + 5} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 3.3.4.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $3 x$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + 5} (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 3.3.5

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + 5} (e^{3 x} \cdot 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 3.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + 5} (e^{3 x} \cdot 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 3.3.7

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + 5} (e^{3 x} \cdot 3 + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 3.3.8

Bringe $3$ auf die linke Seite von $e^{3 x}$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + 5} (3 \cdot e^{3 x} + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 3.3.9

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + 5} (3 e^{3 x} + 0)}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 3.3.10

Addiere $3 e^{3 x}$ und $0$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{e^{3 x} + 5} \cdot 3 e^{3 x}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 3.3.11

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{e^{3 x} + 5}$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{e^{3 x} + 5} e^{3 x}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 3.3.12

Kombiniere $\frac{3}{e^{3 x} + 5}$ und $e^{3 x}$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 e^{3 x}}{e^{3 x} + 5}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 3.3.13

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 e^{3 x}}{e^{3 x} + 5}}{1}}$

Schritt 3.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{e^{3 x} + 5} \cdot 1}$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $\frac{3 e^{3 x}}{e^{3 x} + 5}$ mit $1$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{e^{3 x} + 5}}$

Schritt 4

Ziehe den Term $3$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 5}}$

Schritt 5

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 5.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 5.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$e^{2 \cdot 3 \frac{lim_{x \to \infty} e^{3 x}}{lim_{x \to \infty} e^{3 x} + 5}}$

Schritt 5.1.2

Da der Exponent $3 x$ gegen $\infty$ geht, nähert sich die Größe $e^{3 x}$ $\infty$ an.

$e^{2 \cdot 3 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{3 x} + 5}}$

Schritt 5.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 5.1.3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$e^{2 \cdot 3 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{3 x} + lim_{x \to \infty} 5}}$

Schritt 5.1.3.2

Da der Exponent $3 x$ gegen $\infty$ geht, nähert sich die Größe $e^{3 x}$ $\infty$ an.

$e^{2 \cdot 3 \frac{\infty}{\infty + lim_{x \to \infty} 5}}$

Schritt 5.1.3.3

Berechne den Grenzwert von $5$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$e^{2 \cdot 3 \frac{\infty}{\infty + 5}}$

Schritt 5.1.3.4

Unendlich plus oder minus eine Zahl ist Unendlich.

$e^{2 \cdot 3 \frac{\infty}{\infty}}$

Schritt 5.1.3.5

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$e^{2 \cdot 3 \frac{\infty}{\infty}}$

Schritt 5.1.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$e^{2 \cdot 3 \frac{\infty}{\infty}}$

Schritt 5.2

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x}}{e^{3 x} + 5} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + 5]}$

Schritt 5.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 5.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + 5]}}$

Schritt 5.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 3 x$ .

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Schritt 5.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 x$ .

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + 5]}}$

Schritt 5.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{e^{u} \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + 5]}}$

Schritt 5.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $3 x$ .

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + 5]}}$

Schritt 5.3.3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x} \cdot 3 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + 5]}}$

Schritt 5.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x} \cdot 3 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + 5]}}$

Schritt 5.3.5

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x} \cdot 3}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + 5]}}$

Schritt 5.3.6

Bringe $3$ auf die linke Seite von $e^{3 x}$ .

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{3 \cdot e^{3 x}}{\frac{d}{d x} [e^{3 x} + 5]}}$

Schritt 5.3.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{3 x} + 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [5]}}$

Schritt 5.3.8

Berechne $\frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

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Schritt 5.3.8.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 3 x$ .

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Schritt 5.3.8.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 x$ .

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]}}$

Schritt 5.3.8.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{e^{u} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]}}$

Schritt 5.3.8.1.3

Ersetze alle $u$ durch $3 x$ .

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]}}$

Schritt 5.3.8.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{e^{3 x} \cdot 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]}}$

Schritt 5.3.8.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{e^{3 x} \cdot 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]}}$

Schritt 5.3.8.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{e^{3 x} \cdot 3 + \frac{d}{d x} [5]}}$

Schritt 5.3.8.5

Bringe $3$ auf die linke Seite von $e^{3 x}$ .

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{3 e^{3 x} + \frac{d}{d x} [5]}}$

Schritt 5.3.9

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{3 e^{3 x} + 0}}$

Schritt 5.3.10

Addiere $3 e^{3 x}$ und $0$ .

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{3 e^{3 x}}}$

Schritt 5.4

Vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{3 e^{3 x}}{3 e^{3 x}}}$

Schritt 5.4.1.2

Forme den Ausdruck um.

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x}}{e^{3 x}}}$

Schritt 5.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{3 x}$ .

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} \frac{e^{3 x}}{e^{3 x}}}$

Schritt 5.4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$e^{2 \cdot 3 lim_{x \to \infty} 1}$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$e^{2 \cdot 3 \cdot 1}$

Schritt 7

Multipliziere $2 \cdot 3 \cdot 1$ .

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$e^{6 \cdot 1}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$e^{6}$