Analysis Beispiele

$y = \ln (| \csc (x) |)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = | \csc (x) |$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $| \csc (x) |$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [| \csc (x) |]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\ln (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [| \csc (x) |]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $| \csc (x) |$ .

$\frac{1}{| \csc (x) |} \frac{d}{d x} [| \csc (x) |]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = | x |$ und $g (x) = \csc (x)$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $\csc (x)$ .

$\frac{1}{| \csc (x) |} (\frac{d}{d u_{2}} [| u_{2} |] \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $| u_{2} |$ nach $u_{2}$ ist $\frac{u_{2}}{| u_{2} |}$ .

$\frac{1}{| \csc (x) |} (\frac{u_{2}}{| u_{2} |} \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\csc (x)$ .

$\frac{1}{| \csc (x) |} (\frac{\csc (x)}{| \csc (x) |} \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Schritt 3

Mutltipliziere $\frac{\csc (x)}{| \csc (x) |}$ mit $\frac{1}{| \csc (x) |}$ .

$\frac{\csc (x)}{| \csc (x) | | \csc (x) |} \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Schritt 4

Um Absolutwerte zu multiplizieren, multipliziere die Terme innerhalb jedes Absolutwerts.

$\frac{\csc (x)}{| \csc (x) \csc (x) |} \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Schritt 5

Potenziere $\csc (x)$ mit $1$ .

$\frac{\csc (x)}{| \csc^{1} (x) \csc (x) |} \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Schritt 6

Potenziere $\csc (x)$ mit $1$ .

$\frac{\csc (x)}{| \csc^{1} (x) \csc^{1} (x) |} \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Schritt 7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\csc (x)}{| {\csc (x)}^{1 + 1} |} \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Schritt 8

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\csc (x)}{| \csc^{2} (x) |} \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Schritt 9

Die Ableitung von $\csc (x)$ nach $x$ ist $- \csc (x) \cot (x)$ .

$\frac{\csc (x)}{| \csc^{2} (x) |} (- \csc (x) \cot (x))$

Schritt 10

Kombiniere $\frac{\csc (x)}{| \csc^{2} (x) |}$ und $\csc (x)$ .

$- \frac{\csc (x) \csc (x)}{| \csc^{2} (x) |} \cot (x)$

Schritt 11

Potenziere $\csc (x)$ mit $1$ .

$- \frac{\csc^{1} (x) \csc (x)}{| \csc^{2} (x) |} \cot (x)$

Schritt 12

Potenziere $\csc (x)$ mit $1$ .

$- \frac{\csc^{1} (x) \csc^{1} (x)}{| \csc^{2} (x) |} \cot (x)$

Schritt 13

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{{\csc (x)}^{1 + 1}}{| \csc^{2} (x) |} \cot (x)$

Schritt 14

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{\csc^{2} (x)}{| \csc^{2} (x) |} \cot (x)$

Schritt 15

Kombiniere $\cot (x)$ und $\frac{\csc^{2} (x)}{| \csc^{2} (x) |}$ .

$- \frac{\cot (x) \csc^{2} (x)}{| \csc^{2} (x) |}$

Schritt 16

Vereinfache.

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Schritt 16.1

Entferne nicht-negative Terme aus dem Absolutwert.

$- \frac{\cot (x) \csc^{2} (x)}{\csc^{2} (x)}$

Schritt 16.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\csc^{2} (x)$ .

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Schritt 16.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{\cot (x) \csc^{2} (x)}{\csc^{2} (x)}$

Schritt 16.2.2

Dividiere $\cot (x)$ durch $1$ .

$- \cot (x)$