Analysis Beispiele

$\sqrt{49 x^{- 9}}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{d}{d x} [\sqrt{49 x^{- 9}}]$ als $\frac{d}{d x} [7 \sqrt{x^{- 9}}]$ um.

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Schritt 1.1

Schreibe $49$ als $7^{2}$ um.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{7^{2} x^{- 9}}]$

Schritt 1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{d}{d x} [7 \sqrt{x^{- 9}}]$

Schritt 2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x^{- 9}}$ als $x^{\frac{- 9}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [7 x^{\frac{- 9}{2}}]$

Schritt 2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d}{d x} [7 x^{- \frac{9}{2}}]$

Schritt 3

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7 x^{- \frac{9}{2}}$ nach $x$ gleich $7 \frac{d}{d x} [x^{- \frac{9}{2}}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x^{- \frac{9}{2}}]$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - \frac{9}{2}$ .

$7 (- \frac{9}{2} x^{- \frac{9}{2} - 1})$

Schritt 5

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$7 (- \frac{9}{2} x^{- \frac{9}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Schritt 6

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$7 (- \frac{9}{2} x^{- \frac{9}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$7 (- \frac{9}{2} x^{\frac{- 9 - 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$7 (- \frac{9}{2} x^{\frac{- 9 - 2}{2}})$

Schritt 8.2

Subtrahiere $2$ von $- 9$ .

$7 (- \frac{9}{2} x^{\frac{- 11}{2}})$

Schritt 9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$7 (- \frac{9}{2} x^{- \frac{11}{2}})$

Schritt 10

Kombiniere $x^{- \frac{11}{2}}$ und $\frac{9}{2}$ .

$7 (- \frac{x^{- \frac{11}{2}} \cdot 9}{2})$

Schritt 11

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

$- 7 \frac{x^{- \frac{11}{2}} \cdot 9}{2}$

Schritt 12

Kombiniere $- 7$ und $\frac{x^{- \frac{11}{2}} \cdot 9}{2}$ .

$\frac{- 7 (x^{- \frac{11}{2}} \cdot 9)}{2}$

Schritt 13

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 13.1

Mutltipliziere $9$ mit $- 7$ .

$\frac{- 63 x^{- \frac{11}{2}}}{2}$

Schritt 13.2

Bringe $x^{- \frac{11}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 63}{2 x^{\frac{11}{2}}}$

Schritt 13.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{63}{2 x^{\frac{11}{2}}}$