Analysis Beispiele

$\int x \sqrt{1 - x^{4}} d x$

Schritt 1

Sei $u_{1} = x^{2}$ . Dann ist $d u_{1} = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u_{1} = x^{2}$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int \sqrt{1 - {\sqrt{u_{1}}}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Schreibe ${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ als ${u_{1}}^{2}$ um.

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Schritt 2.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u_{1}}$ als ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int \sqrt{1 - {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 2.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \sqrt{1 - {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 2.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $4$ .

$\int \sqrt{1 - {u_{1}}^{\frac{4}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 2.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 2.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\int \sqrt{1 - {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 2.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\int \sqrt{1 - {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 2.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \sqrt{1 - {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 2.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\int \sqrt{1 - {u_{1}}^{\frac{2}{1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 2.1.4.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$\int \sqrt{1 - {u_{1}}^{2}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 2.2

Kombiniere $\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}}{2} d u_{1}$

Schritt 3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{1 - {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Schritt 4

Sei $u_{1} = \sin (t)$ , mit $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Dann ist $d u_{1} = \cos (t) d t$ . Beachte, dass wegen $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\cos (t)$ positiv ist.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{1 - \sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

Schritt 5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.1

Vereinfache $\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}$ .

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Schritt 5.1.1

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{\cos^{2} (t)} \cos (t) d t$

Schritt 5.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{1}{2} \int \cos (t) \cos (t) d t$

Schritt 5.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Potenziere $\cos (t)$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} \int \cos^{1} (t) \cos (t) d t$

Schritt 5.2.2

Potenziere $\cos (t)$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} \int \cos^{1} (t) \cos^{1} (t) d t$

Schritt 5.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{2} \int {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

Schritt 5.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{2} \int \cos^{2} (t) d t$

Schritt 6

Benutze die Halbwinkelformel, um $\cos^{2} (t)$ als $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{2} \int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Schritt 7

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t)$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{4} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Schritt 9

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{4} (\int d t + \int \cos (2 t) d t)$

Schritt 10

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{4} (t + C + \int \cos (2 t) d t)$

Schritt 11

Sei $u_{2} = 2 t$ . Dann ist $d u_{2} = 2 d t$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{2} = d t$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 11.1

Es sei $u_{2} = 2 t$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

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Schritt 11.1.1

Differenziere $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Schritt 11.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $2 t$ nach $t$ gleich $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 11.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 11.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 11.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\frac{1}{4} (t + C + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Schritt 12

Kombiniere $\cos (u_{2})$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} (t + C + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Schritt 13

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{4} (t + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2})$

Schritt 14

Das Integral von $\cos (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{4} (t + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

Schritt 15

Vereinfache.

$\frac{1}{4} (t + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Schritt 16

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 16.1

Ersetze alle $t$ durch $\arcsin (u_{1})$ .

$\frac{1}{4} (\arcsin (u_{1}) + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Schritt 16.2

Ersetze alle $u_{2}$ durch $2 t$ .

$\frac{1}{4} (\arcsin (u_{1}) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

Schritt 16.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x^{2}$ .

$\frac{1}{4} (\arcsin (x^{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

Schritt 16.4

Ersetze alle $t$ durch $\arcsin (u_{1})$ .

$\frac{1}{4} (\arcsin (x^{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (u_{1}))) + C$

Schritt 16.5

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x^{2}$ .

$\frac{1}{4} (\arcsin (x^{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (x^{2}))) + C$

Schritt 17

Vereinfache.

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Schritt 17.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sin (2 \arcsin (x^{2}))$ .

$\frac{1}{4} (\arcsin (x^{2}) + \frac{\sin (2 \arcsin (x^{2}))}{2}) + C$

Schritt 17.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{4} \arcsin (x^{2}) + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (x^{2}))}{2} + C$

Schritt 17.3

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $\arcsin (x^{2})$ .

$\frac{\arcsin (x^{2})}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (x^{2}))}{2} + C$

Schritt 17.4

Kombinieren.

$\frac{\arcsin (x^{2})}{4} + \frac{1 \sin (2 \arcsin (x^{2}))}{4 \cdot 2} + C$

Schritt 17.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 17.5.1

Mutltipliziere $\sin (2 \arcsin (x^{2}))$ mit $1$ .

$\frac{\arcsin (x^{2})}{4} + \frac{\sin (2 \arcsin (x^{2}))}{4 \cdot 2} + C$

Schritt 17.5.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{\arcsin (x^{2})}{4} + \frac{\sin (2 \arcsin (x^{2}))}{8} + C$

Schritt 18

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{4} \arcsin (x^{2}) + \frac{1}{8} \sin (2 \arcsin (x^{2})) + C$