Analysis Beispiele

$\int 4 x^{3} (4 x^{4} + 5) d x$

Schritt 1

Sei $u = 4 x^{4} + 5$ . Dann ist $d u = 16 x^{3} d x$ , folglich $\frac{1}{16} d u = x^{3} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 4 x^{4} + 5$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $4 x^{4} + 5$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{4} + 5]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x^{4} + 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x^{4}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{4}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$16 x^{3} + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.4.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$16 x^{3} + 0$

Schritt 1.1.4.2

Addiere $16 x^{3}$ und $0$ .

$16 x^{3}$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int 4 u \frac{1}{16} d u$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Kombiniere $\frac{1}{16}$ und $4$ .

$\int \frac{4}{16} u d u$

Schritt 2.2

Kombiniere $\frac{4}{16}$ und $u$ .

$\int \frac{4 u}{16} d u$

Schritt 2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $16$ .

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Schritt 2.3.1

Faktorisiere $4$ aus $4 u$ heraus.

$\int \frac{4 (u)}{16} d u$

Schritt 2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.2.1

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$\int \frac{4 u}{4 \cdot 4} d u$

Schritt 2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{4 u}{4 \cdot 4} d u$

Schritt 2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\int \frac{u}{4} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{4} \int u d u$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u$ nach $u$ gleich $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Schreibe $\frac{1}{4} (\frac{1}{2} u^{2} + C)$ als $\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C$ um.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C$

Schritt 5.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4 \cdot 2} u^{2} + C$

Schritt 5.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{1}{8} u^{2} + C$

Schritt 6

Ersetze alle $u$ durch $4 x^{4} + 5$ .

$\frac{1}{8} {(4 x^{4} + 5)}^{2} + C$