Analysis Beispiele

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{3} + 27}{20 x^{2} + 10 x + 9}$

Schritt 1

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $x^{2}$ ist.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x^{3}}{x^{2}} + \frac{27}{x^{2}}}{\frac{20 x^{2}}{x^{2}} + \frac{10 x}{x^{2}} + \frac{9}{x^{2}}}$

Schritt 2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{3}$ und $x^{2}$ .

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $5 x^{3}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2} (5 x)}{x^{2}} + \frac{27}{x^{2}}}{\frac{20 x^{2}}{x^{2}} + \frac{10 x}{x^{2}} + \frac{9}{x^{2}}}$

Schritt 2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2} (5 x)}{x^{2} \cdot 1} + \frac{27}{x^{2}}}{\frac{20 x^{2}}{x^{2}} + \frac{10 x}{x^{2}} + \frac{9}{x^{2}}}$

Schritt 2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2} (5 x)}{x^{2} \cdot 1} + \frac{27}{x^{2}}}{\frac{20 x^{2}}{x^{2}} + \frac{10 x}{x^{2}} + \frac{9}{x^{2}}}$

Schritt 2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x}{1} + \frac{27}{x^{2}}}{\frac{20 x^{2}}{x^{2}} + \frac{10 x}{x^{2}} + \frac{9}{x^{2}}}$

Schritt 2.1.2.4

Dividiere $5 x$ durch $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x + \frac{27}{x^{2}}}{\frac{20 x^{2}}{x^{2}} + \frac{10 x}{x^{2}} + \frac{9}{x^{2}}}$

Schritt 2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x + \frac{27}{x^{2}}}{\frac{20 x^{2}}{x^{2}} + \frac{10 x}{x^{2}} + \frac{9}{x^{2}}}$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere $20$ durch $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x + \frac{27}{x^{2}}}{20 + \frac{10 x}{x^{2}} + \frac{9}{x^{2}}}$

Schritt 2.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{2}$ .

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Schritt 2.2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $10 x$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x + \frac{27}{x^{2}}}{20 + \frac{x \cdot 10}{x^{2}} + \frac{9}{x^{2}}}$

Schritt 2.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x + \frac{27}{x^{2}}}{20 + \frac{x \cdot 10}{x \cdot x} + \frac{9}{x^{2}}}$

Schritt 2.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x + \frac{27}{x^{2}}}{20 + \frac{x \cdot 10}{x \cdot x} + \frac{9}{x^{2}}}$

Schritt 2.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x + \frac{27}{x^{2}}}{20 + \frac{10}{x} + \frac{9}{x^{2}}}$

Schritt 3

Da $x$ gegen $\infty$ geht, nähert sich der Bruch $\frac{27}{x^{2}}$ $0$ an.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x + 0}{20 + \frac{10}{x} + \frac{9}{x^{2}}}$

Schritt 4

Da $x$ gegen $\infty$ geht, nähert sich der Bruch $\frac{10}{x}$ $0$ an.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x + 0}{20 + 0 + \frac{9}{x^{2}}}$

Schritt 5

Da $x$ gegen $\infty$ geht, nähert sich der Bruch $\frac{9}{x^{2}}$ $0$ an.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x + 0}{20 + 0 + 0}$

Schritt 6

Da sein Zähler ohne Grenze ist, während der Nenner gegen eine Konstante geht, geht der Bruch $\frac{5 x + 0}{20 + 0 + 0}$ gegen unendlich.

$\infty$