Analysis Beispiele

$y = x^{2} \cos (x)$

Schritt 1

Es gilt $y = f (x)$ , nimm the natürlichen Logarithmus auf beiden Seiten von $\ln (y) = \ln (f (x))$ .

$\ln (y) = \ln (x^{2} \cos (x))$

Schritt 2

Erweitere die rechte Seite.

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Schritt 2.1

Schreibe $\ln (x^{2} \cos (x))$ als $\ln (x^{2}) + \ln (\cos (x))$ um.

$\ln (y) = \ln (x^{2}) + \ln (\cos (x))$

Schritt 2.2

Zerlege $\ln (x^{2})$ durch Herausziehen von $2$ aus dem Logarithmus.

$\ln (y) = 2 \ln (x) + \ln (\cos (x))$

Schritt 3

Differenziere den Ausdruck mit Hilfe der Kettenregel, unter Berücksichtigung, dass $y$ eine Funktion von $x$ ist.

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Schritt 3.1

Differenziere die linke Seite von $\ln (y)$ mit Hilfe der Kettenregel.

$\frac{y'}{y} = 2 \ln (x) + \ln (\cos (x))$

Schritt 3.2

Differenziere die rechte Seite.

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Schritt 3.2.1

Differenziere $2 \ln (x) + \ln (\cos (x))$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [2 \ln (x) + \ln (\cos (x))]$

Schritt 3.2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 \ln (x) + \ln (\cos (x))$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [2 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]$

Schritt 3.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 \ln (x)]$ .

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Schritt 3.2.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 \ln (x)$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{y'}{y} = 2 \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]$

Schritt 3.2.3.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = 2 \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]$

Schritt 3.2.3.3

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{2}{x} + \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]$

Schritt 3.2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))]$ .

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Schritt 3.2.4.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = \cos (x)$ .

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Schritt 3.2.4.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\cos (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{2}{x} + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 3.2.4.1.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{2}{x} + \frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 3.2.4.1.3

Ersetze alle $u$ durch $\cos (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{2}{x} + \frac{1}{\cos (x)} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 3.2.4.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{2}{x} + \frac{1}{\cos (x)} (- \sin (x))$

Schritt 3.2.4.3

Wandle von $\frac{1}{\cos (x)}$ nach $\sec (x)$ um.

$\frac{y'}{y} = \frac{2}{x} + \sec (x) (- \sin (x))$

Schritt 3.2.5

Vereinfache.

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Schritt 3.2.5.1

Stelle die Terme um.

$\frac{y'}{y} = - \sec (x) \sin (x) + \frac{2}{x}$

Schritt 3.2.5.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.5.2.1

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{y'}{y} = - \frac{1}{\cos (x)} \sin (x) + \frac{2}{x}$

Schritt 3.2.5.2.2

Kombiniere $\sin (x)$ und $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{y'}{y} = - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{2}{x}$

Schritt 3.2.5.3

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$\frac{y'}{y} = - \tan (x) + \frac{2}{x}$

Schritt 4

Isoliere $y'$ und ersetze die Originalfunktion für $y$ auf der rechten Seite.

$y' = (- \tan (x) + \frac{2}{x}) (x^{2} \cos (x))$

Schritt 5

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.1

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$y' = (- \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{2}{x}) (x^{2} \cos (x))$

Schritt 5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y' = - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (x^{2} \cos (x)) + \frac{2}{x} (x^{2} \cos (x))$

Schritt 5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 5.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ in den Zähler.

$y' = \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} (x^{2} \cos (x)) + \frac{2}{x} (x^{2} \cos (x))$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $x^{2} \cos (x)$ heraus.

$y' = \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} (\cos (x) x^{2}) + \frac{2}{x} (x^{2} \cos (x))$

Schritt 5.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} (\cos (x) x^{2}) + \frac{2}{x} (x^{2} \cos (x))$

Schritt 5.3.4

Forme den Ausdruck um.

$y' = - \sin (x) x^{2} + \frac{2}{x} (x^{2} \cos (x))$

Schritt 5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.4.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} \cos (x)$ heraus.

$y' = - \sin (x) x^{2} + \frac{2}{x} (x (x \cos (x)))$

Schritt 5.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = - \sin (x) x^{2} + \frac{2}{x} (x (x \cos (x)))$

Schritt 5.4.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = - \sin (x) x^{2} + 2 (x \cos (x))$

Schritt 5.5

Stelle die Faktoren in $- \sin (x) x^{2} + 2 x \cos (x)$ um.

$y' = - x^{2} \sin (x) + 2 x \cos (x)$