Analysis Beispiele

$y = \frac{x^{5}}{10} + \frac{1}{6 x^{3}}$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{x^{5}}{10} + \frac{1}{6 x^{3}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{x^{5}}{10}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6 x^{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{5}}{10}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6 x^{3}}]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{x^{5}}{10}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Da $\frac{1}{10}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x^{5}}{10}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{1}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6 x^{3}}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$\frac{1}{10} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6 x^{3}}]$

Schritt 2.3

Kombiniere $5$ und $\frac{1}{10}$ .

$\frac{5}{10} x^{4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6 x^{3}}]$

Schritt 2.4

Kombiniere $\frac{5}{10}$ und $x^{4}$ .

$\frac{5 x^{4}}{10} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6 x^{3}}]$

Schritt 2.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $5$ und $10$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.1

Faktorisiere $5$ aus $5 x^{4}$ heraus.

$\frac{5 (x^{4})}{10} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6 x^{3}}]$

Schritt 2.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.2.1

Faktorisiere $5$ aus $10$ heraus.

$\frac{5 x^{4}}{5 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6 x^{3}}]$

Schritt 2.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x^{4}}{5 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6 x^{3}}]$

Schritt 2.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6 x^{3}}]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{6 x^{3}}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Da $\frac{1}{6}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{6 x^{3}}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Schritt 3.2

Schreibe $\frac{1}{x^{3}}$ als ${(x^{3})}^{- 1}$ um.

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{3}$ .

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{1}{6} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{1}{6} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{3}$ .

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{1}{6} (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{1}{6} (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))$

Schritt 3.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{- 2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{1}{6} (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2}))$

Schritt 3.5.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{1}{6} (- x^{- 6} (3 x^{2}))$

Schritt 3.6

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{1}{6} (- 3 x^{- 6} x^{2})$

Schritt 3.7

Multipliziere $x^{- 6}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.7.1

Bewege $x^{2}$ .

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{1}{6} (- 3 (x^{2} x^{- 6}))$

Schritt 3.7.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{1}{6} (- 3 x^{2 - 6})$

Schritt 3.7.3

Subtrahiere $6$ von $2$ .

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{1}{6} (- 3 x^{- 4})$

Schritt 3.8

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{6}$ .

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{- 3}{6} x^{- 4}$

Schritt 3.9

Kombiniere $\frac{- 3}{6}$ und $x^{- 4}$ .

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{- 3 x^{- 4}}{6}$

Schritt 3.10

Bringe $x^{- 4}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{- 3}{6 x^{4}}$

Schritt 3.11

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 3$ und $6$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.11.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{3 (- 1)}{6 x^{4}}$

Schritt 3.11.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.11.2.1

Faktorisiere $3$ aus $6 x^{4}$ heraus.

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{3 (- 1)}{3 (2 x^{4})}$

Schritt 3.11.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{3 \cdot - 1}{3 (2 x^{4})}$

Schritt 3.11.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{4}}{2} + \frac{- 1}{2 x^{4}}$

Schritt 3.12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{x^{4}}{2} - \frac{1}{2 x^{4}}$