Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0^{+}} x^{\sin (x)}$

Schritt 1

Wende die Logarithmengesetze an, um den Grenzwert zu vereinfachen.

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Schritt 1.1

Schreibe $x^{\sin (x)}$ als $e^{\ln (x^{\sin (x)})}$ um.

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\ln (x^{\sin (x)})}$

Schritt 1.2

Zerlege $\ln (x^{\sin (x)})$ durch Herausziehen von $\sin (x)$ aus dem Logarithmus.

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\sin (x) \ln (x)}$

Schritt 2

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \sin (x) \ln (x)}$

Schritt 3

Schreibe $\sin (x) \ln (x)$ als $\frac{\ln (x)}{\frac{1}{\sin (x)}}$ um.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\frac{1}{\sin (x)}}}$

Schritt 4

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 4.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 4.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$e^{\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\sin (x)}}}$

Schritt 4.1.2

Wenn $x$ von rechts gegen $0$ geht, nimmt $\ln (x)$ ohne Schranke ab.

$e^{\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\sin (x)}}}$

Schritt 4.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 4.1.3.1

Wandle von $\frac{1}{\sin (x)}$ nach $\csc (x)$ um.

$e^{\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \csc (x)}}$

Schritt 4.1.3.2

Wenn sich die $x$ -Werte von rechts an $0$ annähern, nehmen die Funktionswerte ohne Schranke zu.

$e^{\frac{- \infty}{\infty}}$

Schritt 4.1.3.3

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$e^{\frac{- \infty}{\infty}}$

Schritt 4.1.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$e^{\frac{- \infty}{\infty}}$

Schritt 4.2

Da $\frac{- \infty}{\infty}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\frac{1}{\sin (x)}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sin (x)}]}$

Schritt 4.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 4.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sin (x)}]}}$

Schritt 4.3.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{\sin (x)}]}}$

Schritt 4.3.3

Schreibe $\frac{1}{\sin (x)}$ als $\sin^{- 1} (x)$ um.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\sin^{- 1} (x)]}}$

Schritt 4.3.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = \sin (x)$ .

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Schritt 4.3.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\sin (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]}}$

Schritt 4.3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- u^{- 2} \frac{d}{d x} [\sin (x)]}}$

Schritt 4.3.4.3

Ersetze alle $u$ durch $\sin (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \sin^{- 2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}}$

Schritt 4.3.5

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \sin^{- 2} (x) \cos (x)}}$

Schritt 4.3.6

Vereinfache.

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Schritt 4.3.6.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{\sin^{2} (x)} \cos (x)}}$

Schritt 4.3.6.2

Kombiniere $\cos (x)$ und $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)}}}$

Schritt 4.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} \cdot - 1 \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}}$

Schritt 4.5

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{\sin^{2} (x)}{x \cos (x)}}$

Schritt 4.6

Faktorisiere $\sin (x)$ aus $\sin^{2} (x)$ heraus.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{\sin (x) \sin (x)}{x \cos (x)}}$

Schritt 4.7

Separiere Brüche.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{\sin (x)}{x} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Schritt 4.8

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{\sin (x)}{x} \tan (x)}$

Schritt 4.9

Kombiniere $\frac{\sin (x)}{x}$ und $\tan (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{\sin (x) \tan (x)}{x}}$

Schritt 5

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (x) \tan (x)}{x}}$

Schritt 6

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 6.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 6.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$e^{- \frac{lim_{x \to 0^{+}} \sin (x) \tan (x)}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

Schritt 6.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 6.1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$e^{- \frac{lim_{x \to 0^{+}} \sin (x) \cdot lim_{x \to 0^{+}} \tan (x)}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

Schritt 6.1.2.2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$e^{- \frac{\sin (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot lim_{x \to 0^{+}} \tan (x)}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

Schritt 6.1.2.3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Tangens stetig ist.

$e^{- \frac{\sin (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot \tan (lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

Schritt 6.1.2.4

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 6.1.2.4.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$e^{- \frac{\sin (0) \cdot \tan (lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

Schritt 6.1.2.4.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$e^{- \frac{\sin (0) \cdot \tan (0)}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

Schritt 6.1.2.5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1.2.5.1

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$e^{- \frac{0 \cdot \tan (0)}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

Schritt 6.1.2.5.2

Der genau Wert von $\tan (0)$ ist $0$ .

$e^{- \frac{0 \cdot 0}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

Schritt 6.1.2.5.3

Mutltipliziere $0$ mit $0$ .

$e^{- \frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} x}}$

Schritt 6.1.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$e^{- \frac{0}{0}}$

Schritt 6.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$e^{- \frac{0}{0}}$

Schritt 6.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (x) \tan (x)}{x} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x) \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 6.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 6.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x) \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 6.3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = \tan (x)$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 6.3.3

Die Ableitung von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\sec^{2} (x)$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 6.3.4

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 6.3.5

Vereinfache.

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Schritt 6.3.5.1

Stelle die Terme um.

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sec^{2} (x) \sin (x) + \cos (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 6.3.5.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.5.2.1

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \sin (x) + \cos (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 6.3.5.2.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\cos (x)}$ an.

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \sin (x) + \cos (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 6.3.5.2.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{\cos^{2} (x)} \sin (x) + \cos (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 6.3.5.2.4

Kombiniere $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ und $\sin (x)$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \cos (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 6.3.5.2.5

Schreibe mithilfe von Sinus und Kosinus um, kürze dann die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.3.5.2.5.1

Stelle $\cos (x)$ und $\tan (x)$ um.

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \tan (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 6.3.5.2.5.2

Schreibe $\cos (x) \tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 6.3.5.2.5.3

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 6.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \sin (x)}{1}}$

Schritt 6.4

Vereine die Terme

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Schritt 6.4.1

Um $\sin (x)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}{1}}$

Schritt 6.4.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\sin (x) + \sin (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}{1}}$

Schritt 6.5

Dividiere $\frac{\sin (x) + \sin (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ durch $1$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (x) + \sin (x) \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}$

Schritt 7

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 7.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$e^{- \frac{lim_{x \to 0^{+}} \sin (x) + \sin (x) \cos^{2} (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (x)}}$

Schritt 7.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$e^{- \frac{lim_{x \to 0^{+}} \sin (x) + lim_{x \to 0^{+}} \sin (x) \cos^{2} (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (x)}}$

Schritt 7.3

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$e^{- \frac{\sin (lim_{x \to 0^{+}} x) + lim_{x \to 0^{+}} \sin (x) \cos^{2} (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (x)}}$

Schritt 7.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$e^{- \frac{\sin (lim_{x \to 0^{+}} x) + lim_{x \to 0^{+}} \sin (x) \cdot lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (x)}}$

Schritt 7.5

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$e^{- \frac{\sin (lim_{x \to 0^{+}} x) + \sin (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (x)}}$

Schritt 7.6

Ziehe den Exponenten $2$ von $\cos^{2} (x)$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$e^{- \frac{\sin (lim_{x \to 0^{+}} x) + \sin (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot {(lim_{x \to 0^{+}} \cos (x))}^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (x)}}$

Schritt 7.7

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$e^{- \frac{\sin (lim_{x \to 0^{+}} x) + \sin (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}{lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (x)}}$

Schritt 7.8

Ziehe den Exponenten $2$ von $\cos^{2} (x)$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$e^{- \frac{\sin (lim_{x \to 0^{+}} x) + \sin (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}{{(lim_{x \to 0^{+}} \cos (x))}^{2}}}$

Schritt 7.9

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$e^{- \frac{\sin (lim_{x \to 0^{+}} x) + \sin (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}{\cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}}$

Schritt 8

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 8.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$e^{- \frac{\sin (0) + \sin (lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}{\cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}}$

Schritt 8.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$e^{- \frac{\sin (0) + \sin (0) \cdot \cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}{\cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}}$

Schritt 8.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$e^{- \frac{\sin (0) + \sin (0) \cdot \cos^{2} (0)}{\cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} x)}}$

Schritt 8.4

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$e^{- \frac{\sin (0) + \sin (0) \cdot \cos^{2} (0)}{\cos^{2} (0)}}$

Schritt 9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1.1

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$e^{- \frac{0 + \sin (0) \cdot \cos^{2} (0)}{\cos^{2} (0)}}$

Schritt 9.1.2

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$e^{- \frac{0 + 0 \cdot \cos^{2} (0)}{\cos^{2} (0)}}$

Schritt 9.1.3

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$e^{- \frac{0 + 0 \cdot 1^{2}}{\cos^{2} (0)}}$

Schritt 9.1.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$e^{- \frac{0 + 0 \cdot 1}{\cos^{2} (0)}}$

Schritt 9.1.5

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

$e^{- \frac{0 + 0}{\cos^{2} (0)}}$

Schritt 9.1.6

Addiere $0$ und $0$ .

$e^{- \frac{0}{\cos^{2} (0)}}$

Schritt 9.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.2.1

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$e^{- \frac{0}{1^{2}}}$

Schritt 9.2.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$e^{- \frac{0}{1}}$

Schritt 9.3

Dividiere $0$ durch $1$ .

$e^{- 0}$

Schritt 9.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$e^{0}$

Schritt 10

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$1$