Analysis Beispiele

$\frac{2 - \frac{1}{x}}{x - 3}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 2 - \frac{1}{x}$ und $g (x) = x - 3$ .

$\frac{(x - 3) \frac{d}{d x} [2 - \frac{1}{x}] - (2 - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 - \frac{1}{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ .

$\frac{(x - 3) (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]) - (2 - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 2.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(x - 3) (0 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]) - (2 - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 2.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ .

$\frac{(x - 3) \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] - (2 - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = - 1$ und $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$\frac{(x - 3) (- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$\frac{(x - 3) (- \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$\frac{(x - 3) (- - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 4.3

Multipliziere.

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{(x - 3) (1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 4.3.2

Mutltipliziere $x^{- 2}$ mit $1$ .

$\frac{(x - 3) (x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 4.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(x - 3) (x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0) - (2 - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 4.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.5.1

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $0$ .

$\frac{(x - 3) (x^{- 2} + 0) - (2 - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 4.5.2

Addiere $x^{- 2}$ und $0$ .

$\frac{(x - 3) x^{- 2} - (2 - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 4.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{(x - 3) x^{- 2} - (2 - \frac{1}{x}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 4.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(x - 3) x^{- 2} - (2 - \frac{1}{x}) (1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 4.8

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(x - 3) x^{- 2} - (2 - \frac{1}{x}) (1 + 0)}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 4.9

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.9.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{(x - 3) x^{- 2} - (2 - \frac{1}{x}) \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 4.9.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{(x - 3) x^{- 2} - (2 - \frac{1}{x})}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(x - 3) \frac{1}{x^{2}} - (2 - \frac{1}{x})}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \frac{1}{x^{2}} - 3 \frac{1}{x^{2}} - (2 - \frac{1}{x})}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \frac{1}{x^{2}} - 3 \frac{1}{x^{2}} - 1 \cdot 2 - - \frac{1}{x}}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 5.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.4.1.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{x \frac{1}{x \cdot x} - 3 \frac{1}{x^{2}} - 1 \cdot 2 - - \frac{1}{x}}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 5.4.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \frac{1}{x \cdot x} - 3 \frac{1}{x^{2}} - 1 \cdot 2 - - \frac{1}{x}}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 5.4.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{1}{x} - 3 \frac{1}{x^{2}} - 1 \cdot 2 - - \frac{1}{x}}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 5.4.1.2

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{1}{x} + \frac{- 3}{x^{2}} - 1 \cdot 2 - - \frac{1}{x}}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 5.4.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{\frac{1}{x} - \frac{3}{x^{2}} - 1 \cdot 2 - - \frac{1}{x}}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 5.4.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{\frac{1}{x} - \frac{3}{x^{2}} - 2 - - \frac{1}{x}}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 5.4.1.5

Multipliziere $- - \frac{1}{x}$ .

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Schritt 5.4.1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{\frac{1}{x} - \frac{3}{x^{2}} - 2 + 1 \frac{1}{x}}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 5.4.1.5.2

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $1$ .

$\frac{\frac{1}{x} - \frac{3}{x^{2}} - 2 + \frac{1}{x}}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 5.4.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 2 + \frac{1 + 1}{x} + \frac{- 3}{x^{2}}}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 5.4.3

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{- 2 + \frac{2}{x} + \frac{- 3}{x^{2}}}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 5.4.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{- 2 + \frac{2}{x} - \frac{3}{x^{2}}}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 5.5

Vereine die Terme

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Schritt 5.5.1

Mutltipliziere $\frac{- 2 + \frac{2}{x} - \frac{3}{x^{2}}}{{(x - 3)}^{2}}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x}{x} \cdot \frac{- 2 + \frac{2}{x} - \frac{3}{x^{2}}}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 5.5.2

Kombinieren.

$\frac{x (- 2 + \frac{2}{x} - \frac{3}{x^{2}})}{x {(x - 3)}^{2}}$

Schritt 5.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot - 2 + x \frac{2}{x} + x (- \frac{3}{x^{2}})}{x {(x - 3)}^{2}}$

Schritt 5.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \cdot - 2 + x \frac{2}{x} + x (- \frac{3}{x^{2}})}{x {(x - 3)}^{2}}$

Schritt 5.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x \cdot - 2 + 2 + x (- \frac{3}{x^{2}})}{x {(x - 3)}^{2}}$

Schritt 5.5.5

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{- 2 \cdot x + 2 + x (- \frac{3}{x^{2}})}{x {(x - 3)}^{2}}$

Schritt 5.5.6

Kombiniere $x$ und $\frac{3}{x^{2}}$ .

$\frac{- 2 x + 2 - \frac{x \cdot 3}{x^{2}}}{x {(x - 3)}^{2}}$

Schritt 5.5.7

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{- 2 x + 2 - \frac{3 \cdot x}{x^{2}}}{x {(x - 3)}^{2}}$

Schritt 5.5.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{2}$ .

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Schritt 5.5.8.1

Faktorisiere $x$ aus $3 x$ heraus.

$\frac{- 2 x + 2 - \frac{x \cdot 3}{x^{2}}}{x {(x - 3)}^{2}}$

Schritt 5.5.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.5.8.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{- 2 x + 2 - \frac{x \cdot 3}{x \cdot x}}{x {(x - 3)}^{2}}$

Schritt 5.5.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 x + 2 - \frac{x \cdot 3}{x \cdot x}}{x {(x - 3)}^{2}}$

Schritt 5.5.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 2 x + 2 - \frac{3}{x}}{x {(x - 3)}^{2}}$

Schritt 5.6

Stelle die Terme um.

$\frac{- 2 x - \frac{3}{x} + 2}{x {(x - 3)}^{2}}$

Schritt 5.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.7.1

Um $- 2 x$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{- 2 x \cdot \frac{x}{x} - \frac{3}{x} + 2}{x {(x - 3)}^{2}}$

Schritt 5.7.2

Kombiniere $- 2 x$ und $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{- 2 x \cdot x}{x} - \frac{3}{x} + 2}{x {(x - 3)}^{2}}$

Schritt 5.7.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{- 2 x \cdot x - 3}{x} + 2}{x {(x - 3)}^{2}}$

Schritt 5.7.4

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.7.4.1

Bewege $x$ .

$\frac{\frac{- 2 (x \cdot x) - 3}{x} + 2}{x {(x - 3)}^{2}}$

Schritt 5.7.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{\frac{- 2 x^{2} - 3}{x} + 2}{x {(x - 3)}^{2}}$

Schritt 5.7.5

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{- 2 x^{2} - 3}{x} + \frac{2 x}{x}}{x {(x - 3)}^{2}}$

Schritt 5.7.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{- 2 x^{2} - 3 + 2 x}{x}}{x {(x - 3)}^{2}}$

Schritt 5.7.7

Stelle die Terme um.

$\frac{\frac{- 2 x^{2} + 2 x - 3}{x}}{x {(x - 3)}^{2}}$

Schritt 5.8

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{- 2 x^{2} + 2 x - 3}{x} \cdot \frac{1}{x {(x - 3)}^{2}}$

Schritt 5.9

Multipliziere $\frac{- 2 x^{2} + 2 x - 3}{x} \cdot \frac{1}{x {(x - 3)}^{2}}$ .

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Schritt 5.9.1

Mutltipliziere $\frac{- 2 x^{2} + 2 x - 3}{x}$ mit $\frac{1}{x {(x - 3)}^{2}}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 2 x - 3}{x (x {(x - 3)}^{2})}$

Schritt 5.9.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 2 x - 3}{x^{1} x {(x - 3)}^{2}}$

Schritt 5.9.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 2 x - 3}{x^{1} x^{1} {(x - 3)}^{2}}$

Schritt 5.9.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- 2 x^{2} + 2 x - 3}{x^{1 + 1} {(x - 3)}^{2}}$

Schritt 5.9.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 2 x - 3}{x^{2} {(x - 3)}^{2}}$

Schritt 5.10

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 x^{2}$ heraus.

$\frac{- (2 x^{2}) + 2 x - 3}{x^{2} {(x - 3)}^{2}}$

Schritt 5.11

Faktorisiere $- 1$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{- (2 x^{2}) - (- 2 x) - 3}{x^{2} {(x - 3)}^{2}}$

Schritt 5.12

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x^{2}) - (- 2 x)$ heraus.

$\frac{- (2 x^{2} - 2 x) - 3}{x^{2} {(x - 3)}^{2}}$

Schritt 5.13

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$\frac{- (2 x^{2} - 2 x) - 1 (3)}{x^{2} {(x - 3)}^{2}}$

Schritt 5.14

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x^{2} - 2 x) - 1 (3)$ heraus.

$\frac{- (2 x^{2} - 2 x + 3)}{x^{2} {(x - 3)}^{2}}$

Schritt 5.15

Schreibe $- (2 x^{2} - 2 x + 3)$ als $- 1 (2 x^{2} - 2 x + 3)$ um.

$\frac{- 1 (2 x^{2} - 2 x + 3)}{x^{2} {(x - 3)}^{2}}$

Schritt 5.16

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2 x^{2} - 2 x + 3}{x^{2} {(x - 3)}^{2}}$