Analysis Beispiele

$\int (\frac{3}{\sqrt[5]{x^{2}}} - \frac{2}{\sqrt[5]{x}}) d x$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$\int \frac{3}{\sqrt[5]{x^{2}}} - \frac{2}{\sqrt[5]{x}} d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \frac{3}{\sqrt[5]{x^{2}}} d x + \int - \frac{2}{\sqrt[5]{x}} d x$

Schritt 3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$3 \int \frac{1}{\sqrt[5]{x^{2}}} d x + \int - \frac{2}{\sqrt[5]{x}} d x$

Schritt 4

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[5]{x^{2}}$ als $x^{\frac{2}{5}}$ neu zu schreiben.

$3 \int \frac{1}{x^{\frac{2}{5}}} d x + \int - \frac{2}{\sqrt[5]{x}} d x$

Schritt 4.2

Bringe $x^{\frac{2}{5}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$3 \int {(x^{\frac{2}{5}})}^{- 1} d x + \int - \frac{2}{\sqrt[5]{x}} d x$

Schritt 4.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{2}{5}})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \int x^{\frac{2}{5} \cdot - 1} d x + \int - \frac{2}{\sqrt[5]{x}} d x$

Schritt 4.3.2

Multipliziere $\frac{2}{5} \cdot - 1$ .

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Schritt 4.3.2.1

Kombiniere $\frac{2}{5}$ und $- 1$ .

$3 \int x^{\frac{2 \cdot - 1}{5}} d x + \int - \frac{2}{\sqrt[5]{x}} d x$

Schritt 4.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$3 \int x^{\frac{- 2}{5}} d x + \int - \frac{2}{\sqrt[5]{x}} d x$

Schritt 4.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$3 \int x^{- \frac{2}{5}} d x + \int - \frac{2}{\sqrt[5]{x}} d x$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- \frac{2}{5}}$ nach $x$ gleich $\frac{5}{3} x^{\frac{3}{5}}$ .

$3 (\frac{5}{3} x^{\frac{3}{5}} + C) + \int - \frac{2}{\sqrt[5]{x}} d x$

Schritt 6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$3 (\frac{5}{3} x^{\frac{3}{5}} + C) - \int \frac{2}{\sqrt[5]{x}} d x$

Schritt 7

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$3 (\frac{5}{3} x^{\frac{3}{5}} + C) - (2 \int \frac{1}{\sqrt[5]{x}} d x)$

Schritt 8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 8.1

Vereinfache.

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Schritt 8.1.1

Kombiniere $\frac{5}{3}$ und $x^{\frac{3}{5}}$ .

$3 (\frac{5 x^{\frac{3}{5}}}{3} + C) - (2 \int \frac{1}{\sqrt[5]{x}} d x)$

Schritt 8.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$3 (\frac{5 x^{\frac{3}{5}}}{3} + C) - 2 \int \frac{1}{\sqrt[5]{x}} d x$

Schritt 8.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 8.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[5]{x}$ als $x^{\frac{1}{5}}$ neu zu schreiben.

$3 (\frac{5 x^{\frac{3}{5}}}{3} + C) - 2 \int \frac{1}{x^{\frac{1}{5}}} d x$

Schritt 8.2.2

Bringe $x^{\frac{1}{5}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$3 (\frac{5 x^{\frac{3}{5}}}{3} + C) - 2 \int {(x^{\frac{1}{5}})}^{- 1} d x$

Schritt 8.2.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{5}})}^{- 1}$ .

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Schritt 8.2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 (\frac{5 x^{\frac{3}{5}}}{3} + C) - 2 \int x^{\frac{1}{5} \cdot - 1} d x$

Schritt 8.2.3.2

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $- 1$ .

$3 (\frac{5 x^{\frac{3}{5}}}{3} + C) - 2 \int x^{\frac{- 1}{5}} d x$

Schritt 8.2.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$3 (\frac{5 x^{\frac{3}{5}}}{3} + C) - 2 \int x^{- \frac{1}{5}} d x$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- \frac{1}{5}}$ nach $x$ gleich $\frac{5}{4} x^{\frac{4}{5}}$ .

$3 (\frac{5 x^{\frac{3}{5}}}{3} + C) - 2 (\frac{5}{4} x^{\frac{4}{5}} + C)$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Kombiniere $\frac{5}{4}$ und $x^{\frac{4}{5}}$ .

$3 (\frac{5 x^{\frac{3}{5}}}{3} + C) - 2 (\frac{5 x^{\frac{4}{5}}}{4} + C)$

Schritt 10.2

Vereinfache.

$5 x^{\frac{3}{5}} - 2 \frac{5 x^{\frac{4}{5}}}{4} + C$

Schritt 10.3

Vereinfache.

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Schritt 10.3.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{5 x^{\frac{4}{5}}}{4}$ .

$5 x^{\frac{3}{5}} + \frac{- 2 (5 x^{\frac{4}{5}})}{4} + C$

Schritt 10.3.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 2$ .

$5 x^{\frac{3}{5}} + \frac{- 10 x^{\frac{4}{5}}}{4} + C$

Schritt 10.3.3

Faktorisiere $2$ aus $- 10 x^{\frac{4}{5}}$ heraus.

$5 x^{\frac{3}{5}} + \frac{2 (- 5 x^{\frac{4}{5}})}{4} + C$

Schritt 10.3.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.3.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$5 x^{\frac{3}{5}} + \frac{2 (- 5 x^{\frac{4}{5}})}{2 (2)} + C$

Schritt 10.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 x^{\frac{3}{5}} + \frac{2 (- 5 x^{\frac{4}{5}})}{2 \cdot 2} + C$

Schritt 10.3.4.3

Forme den Ausdruck um.

$5 x^{\frac{3}{5}} + \frac{- 5 x^{\frac{4}{5}}}{2} + C$

Schritt 10.3.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$5 x^{\frac{3}{5}} - \frac{5 x^{\frac{4}{5}}}{2} + C$

Schritt 11

Stelle die Terme um.

$5 x^{\frac{3}{5}} - \frac{5}{2} x^{\frac{4}{5}} + C$