Analysis Beispiele

$\int_{e}^{\infty} \frac{1}{x \ln^{2} (x)} d x$

Schritt 1

Schreibe das Integral als Grenzwert, wenn sich $t$ an $\infty$ annähert.

$lim_{t \to \infty} \int_{e}^{t} \frac{1}{x \ln^{2} (x)} d x$

Schritt 2

Sei $u = \ln (x)$ . Dann ist $d u = \frac{1}{x} d x$ , folglich $x d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = \ln (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 2.1.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Schritt 2.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = \ln (x)$ ein.

$u_{lower} = \ln (e)$

Schritt 2.3

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$u_{lower} = 1$

Schritt 2.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = \ln (x)$ ein.

$u_{upper} = \ln (t)$

Schritt 2.5

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \ln (t)$

Schritt 2.6

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{\ln (t)} \frac{1}{u^{2}} d u$

Schritt 3

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 3.1

Bringe $u^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{\ln (t)} {(u^{2})}^{- 1} d u$

Schritt 3.2

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 3.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{\ln (t)} u^{2 \cdot - 1} d u$

Schritt 3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{\ln (t)} u^{- 2} d u$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- 2}$ nach $u$ gleich $- u^{- 1}$ .

$lim_{t \to \infty} - u^{- 1}]_{1}^{\ln (t)}$

Schritt 5

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 5.1

Berechne $- u^{- 1}$ bei $\ln (t)$ und $1$ .

$lim_{t \to \infty} (- \ln^{- 1} (t)) + 1^{- 1}$

Schritt 5.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$lim_{t \to \infty} - \ln^{- 1} (t) + 1$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 6.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $t$ sich an $\infty$ annähert.

$- lim_{t \to \infty} \ln^{- 1} (t) + lim_{t \to \infty} 1$

Schritt 6.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- lim_{t \to \infty} \frac{1}{\ln (t)} + lim_{t \to \infty} 1$

Schritt 6.3

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{\ln (t)}$ $0$ .

$- 0 + lim_{t \to \infty} 1$

Schritt 6.4

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 6.4.1

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $t$ sich $\infty$ annähert.

$0 + 1$

Schritt 6.4.2

Addiere $0$ und $1$ .

$1$