Analysis Beispiele

$\int_{- \frac{π}{4}}^{7 \frac{π}{4}} (\sin (x) + \cos (x)) d x$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$\int_{- \frac{π}{4}}^{7 (\frac{π}{4})} \sin (x) + \cos (x) d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{- \frac{π}{4}}^{7 (\frac{π}{4})} \sin (x) d x + \int_{- \frac{π}{4}}^{7 (\frac{π}{4})} \cos (x) d x$

Schritt 3

Das Integral von $\sin (x)$ nach $x$ ist $- \cos (x)$ .

$- \cos (x)]_{- \frac{π}{4}}^{7 (\frac{π}{4})} + \int_{- \frac{π}{4}}^{7 (\frac{π}{4})} \cos (x) d x$

Schritt 4

Das Integral von $\cos (x)$ nach $x$ ist $\sin (x)$ .

$- \cos (x)]_{- \frac{π}{4}}^{7 (\frac{π}{4})} + \sin (x)]_{- \frac{π}{4}}^{7 (\frac{π}{4})}$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Kombiniere $- \cos (x)]_{- \frac{π}{4}}^{7 (\frac{π}{4})}$ und $\sin (x)]_{- \frac{π}{4}}^{7 (\frac{π}{4})}$ .

$- \cos (x) + \sin (x)]_{- \frac{π}{4}}^{7 (\frac{π}{4})}$

Schritt 5.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Berechne $- \cos (x) + \sin (x)$ bei $7 (\frac{π}{4})$ und $- \frac{π}{4}$ .

$(- \cos (7 \frac{π}{4}) + \sin (7 \frac{π}{4})) - (- \cos (- \frac{π}{4}) + \sin (- \frac{π}{4}))$

Schritt 5.2.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.2.1

Kombiniere $7$ und $\frac{π}{4}$ .

$- \cos (\frac{7 π}{4}) + \sin (7 \frac{π}{4}) - (- \cos (- \frac{π}{4}) + \sin (- \frac{π}{4}))$

Schritt 5.2.2.2

Kombiniere $7$ und $\frac{π}{4}$ .

$- \cos (\frac{7 π}{4}) + \sin (\frac{7 π}{4}) - (- \cos (- \frac{π}{4}) + \sin (- \frac{π}{4}))$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$- \cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{7 π}{4}) - (- \cos (- \frac{π}{4}) + \sin (- \frac{π}{4}))$

Schritt 6.1.2

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (\frac{7 π}{4}) - (- \cos (- \frac{π}{4}) + \sin (- \frac{π}{4}))$

Schritt 6.1.3

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Sinus im vierten Quadranten negativ ist.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (\frac{π}{4}) - (- \cos (- \frac{π}{4}) + \sin (- \frac{π}{4}))$

Schritt 6.1.4

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - (- \cos (- \frac{π}{4}) + \sin (- \frac{π}{4}))$

Schritt 6.1.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.5.1

Addiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - (- \cos (\frac{7 π}{4}) + \sin (- \frac{π}{4}))$

Schritt 6.1.5.2

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - (- \cos (\frac{π}{4}) + \sin (- \frac{π}{4}))$

Schritt 6.1.5.3

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - (- \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (- \frac{π}{4}))$

Schritt 6.1.5.4

Addiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - (- \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (\frac{7 π}{4}))$

Schritt 6.1.5.5

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - (- \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (\frac{π}{4}))$

Schritt 6.1.5.6

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - (- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 6.1.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{- \sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$

Schritt 6.1.7

Subtrahiere $\sqrt{2}$ von $- \sqrt{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{- 2 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 6.1.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 6.1.8.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 \sqrt{2}$ heraus.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 (- \sqrt{2})}{2}$

Schritt 6.1.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.1.8.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (1)}$

Schritt 6.1.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.1.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{- \sqrt{2}}{1}$

Schritt 6.1.8.2.4

Dividiere $- \sqrt{2}$ durch $1$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} - - \sqrt{2}$

Schritt 6.1.9

Multipliziere $- - \sqrt{2}$ .

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Schritt 6.1.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + 1 \sqrt{2}$

Schritt 6.1.9.2

Mutltipliziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{2}$

Schritt 6.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{2} + \frac{- \sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$

Schritt 6.3

Subtrahiere $\sqrt{2}$ von $- \sqrt{2}$ .

$\sqrt{2} + \frac{- 2 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 6.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 6.4.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 \sqrt{2}$ heraus.

$\sqrt{2} + \frac{2 (- \sqrt{2})}{2}$

Schritt 6.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\sqrt{2} + \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (1)}$

Schritt 6.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{2} + \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{2} + \frac{- \sqrt{2}}{1}$

Schritt 6.4.2.4

Dividiere $- \sqrt{2}$ durch $1$ .

$\sqrt{2} - \sqrt{2}$

Schritt 6.5

Subtrahiere $\sqrt{2}$ von $\sqrt{2}$ .

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