Analysis Beispiele

$\tan^{2} (n θ)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ ist $f' (g (θ)) g' (θ)$ , mit $f (θ) = θ^{2}$ und $g (θ) = \tan (n θ)$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\tan (n θ)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d θ} [\tan (n θ)]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d θ} [\tan (n θ)]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\tan (n θ)$ .

$2 \tan (n θ) \frac{d}{d θ} [\tan (n θ)]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ ist $f' (g (θ)) g' (θ)$ , mit $f (θ) = \tan (θ)$ und $g (θ) = n θ$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $n θ$ .

$2 \tan (n θ) (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d θ} [n θ])$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\tan (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\sec^{2} (u_{2})$ .

$2 \tan (n θ) (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d θ} [n θ])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $n θ$ .

$2 \tan (n θ) (\sec^{2} (n θ) \frac{d}{d θ} [n θ])$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Da $n$ konstant bezüglich $θ$ ist, ist die Ableitung von $n θ$ nach $θ$ gleich $n \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$2 \tan (n θ) \sec^{2} (n θ) (n \frac{d}{d θ} [θ])$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ gleich $n θ^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \tan (n θ) \sec^{2} (n θ) (n \cdot 1)$

Schritt 3.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $n$ mit $1$ .

$2 \tan (n θ) \sec^{2} (n θ) n$

Schritt 3.3.2

Stelle die Faktoren von $2 \tan (n θ) \sec^{2} (n θ) n$ um.

$2 n \sec^{2} (n θ) \tan (n θ)$