Analysis Beispiele

$4 y^{2} + x y - 2 x^{2} = 3$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (4 y^{2} + x y - 2 x^{2}) = \frac{d}{d x} (3)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 y^{2} + x y - 2 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [4 y^{2}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 y^{2}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Schritt 2.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Schritt 2.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$4 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Schritt 2.2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$4 (2 y y') + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$8 y y' + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [x y]$ .

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Schritt 2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$8 y y' + x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Schritt 2.3.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$8 y y' + x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$8 y y' + x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Schritt 2.3.4

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$8 y y' + x y' + y + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Schritt 2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

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Schritt 2.4.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$8 y y' + x y' + y - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$8 y y' + x y' + y - 2 (2 x)$

Schritt 2.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$8 y y' + x y' + y - 4 x$

Schritt 2.5

Stelle die Terme um.

$8 y y' + x y' - 4 x + y$

Schritt 3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$8 y y' + x y' - 4 x + y = 0$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1.1

Addiere $4 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$8 y y' + x y' + y = 4 x$

Schritt 5.1.2

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$8 y y' + x y' = 4 x - y$

Schritt 5.2

Faktorisiere $y'$ aus $8 y y' + x y'$ heraus.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $y'$ aus $8 y y'$ heraus.

$y' (8 y) + x (y') = 4 x - y$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere $y'$ aus $x y'$ heraus.

$y' (8 y) + y' (x) = 4 x - y$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' (8 y) + y' (x)$ heraus.

$y' (8 y + x) = 4 x - y$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $y' (8 y + x) = 4 x - y$ durch $8 y + x$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (8 y + x) = 4 x - y$ durch $8 y + x$ .

$\frac{y' (8 y + x)}{8 y + x} = \frac{4 x}{8 y + x} + \frac{- y}{8 y + x}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8 y + x$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (8 y + x)}{8 y + x} = \frac{4 x}{8 y + x} + \frac{- y}{8 y + x}$

Schritt 5.3.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{4 x}{8 y + x} + \frac{- y}{8 y + x}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{4 x - y}{8 y + x}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x - y}{8 y + x}$