Analysis Beispiele

$y = k \sqrt{x} + x \sqrt{k}$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $k \sqrt{x} + x \sqrt{k}$ nach $k$ $\frac{d}{d k} [k \sqrt{x}] + \frac{d}{d k} [x \sqrt{k}]$ .

$\frac{d}{d k} [k \sqrt{x}] + \frac{d}{d k} [x \sqrt{k}]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d k} [k \sqrt{x}]$ .

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Schritt 2.1

Da $\sqrt{x}$ konstant bezüglich $k$ ist, ist die Ableitung von $k \sqrt{x}$ nach $k$ gleich $\sqrt{x} \frac{d}{d k} [k]$ .

$\sqrt{x} \frac{d}{d k} [k] + \frac{d}{d k} [x \sqrt{k}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d k} [k^{n}]$ gleich $n k^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\sqrt{x} \cdot 1 + \frac{d}{d k} [x \sqrt{k}]$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $\sqrt{x}$ mit $1$ .

$\sqrt{x} + \frac{d}{d k} [x \sqrt{k}]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d k} [x \sqrt{k}]$ .

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{k}$ als $k^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{x} + \frac{d}{d k} [x k^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3.2

Da $x$ konstant bezüglich $k$ ist, ist die Ableitung von $x k^{\frac{1}{2}}$ nach $k$ gleich $x \frac{d}{d k} [k^{\frac{1}{2}}]$ .

$\sqrt{x} + x \frac{d}{d k} [k^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d k} [k^{n}]$ gleich $n k^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\sqrt{x} + x (\frac{1}{2} k^{\frac{1}{2} - 1})$

Schritt 3.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{x} + x (\frac{1}{2} k^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Schritt 3.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{x} + x (\frac{1}{2} k^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 3.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{x} + x (\frac{1}{2} k^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 3.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\sqrt{x} + x (\frac{1}{2} k^{\frac{1 - 2}{2}})$

Schritt 3.7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\sqrt{x} + x (\frac{1}{2} k^{\frac{- 1}{2}})$

Schritt 3.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\sqrt{x} + x (\frac{1}{2} k^{- \frac{1}{2}})$

Schritt 3.9

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $k^{- \frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{x} + x \frac{k^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 3.10

Kombiniere $x$ und $\frac{k^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\sqrt{x} + \frac{x k^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 3.11

Bringe $k^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\sqrt{x} + \frac{x}{2 k^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4

Stelle die Terme um.

$\frac{x}{2 k^{\frac{1}{2}}} + \sqrt{x}$