Analysis Beispiele

$y = \ln (e^{x} + x e^{x})$

Schritt 1

Es gilt

$y = f (x)$ , nimm the natürlichen Logarithmus auf beiden Seiten von

$\ln (y) = \ln (f (x))$ .

$\ln (y) = \ln (\ln (e^{x} + x e^{x}))$

Schritt 2

Differenziere den Ausdruck mit Hilfe der Kettenregel, unter Berücksichtigung, dass

$y$ eine Funktion von

$x$ ist.

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Schritt 2.1

Differenziere die linke Seite von

$\ln (y)$ mit Hilfe der Kettenregel.

$\frac{y'}{y} = \ln (\ln (e^{x} + x e^{x}))$

Schritt 2.2

Differenziere die rechte Seite.

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Schritt 2.2.1

Differenziere

$\ln (\ln (e^{x} + x e^{x}))$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [\ln (\ln (e^{x} + x e^{x}))]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist

$f' (g (x)) g' (x)$ , mit

$f (x) = \ln (x)$ und

$g (x) = \ln (e^{x} + x e^{x})$ .

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Schritt 2.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze

$u_{1}$ durch

$\ln (e^{x} + x e^{x})$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\ln (e^{x} + x e^{x})]$

Schritt 2.2.2.2

Die Ableitung von

$\ln (u_{1})$ nach

$u_{1}$ ist

$\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\ln (e^{x} + x e^{x})]$

Schritt 2.2.2.3

Ersetze alle

$u_{1}$ durch

$\ln (e^{x} + x e^{x})$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{\ln (e^{x} + x e^{x})} \frac{d}{d x} [\ln (e^{x} + x e^{x})]$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist

$f' (g (x)) g' (x)$ , mit

$f (x) = \ln (x)$ und

$g (x) = e^{x} + x e^{x}$ .

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Schritt 2.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze

$u_{2}$ durch

$e^{x} + x e^{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{\ln (e^{x} + x e^{x})} (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [e^{x} + x e^{x}])$

Schritt 2.2.3.2

Die Ableitung von

$\ln (u_{2})$ nach

$u_{2}$ ist

$\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{\ln (e^{x} + x e^{x})} (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [e^{x} + x e^{x}])$

Schritt 2.2.3.3

Ersetze alle

$u_{2}$ durch

$e^{x} + x e^{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{\ln (e^{x} + x e^{x})} (\frac{1}{e^{x} + x e^{x}} \frac{d}{d x} [e^{x} + x e^{x}])$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Summenregel.

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Schritt 2.2.4.1

Mutltipliziere

$\frac{1}{e^{x} + x e^{x}}$ mit

$\frac{1}{\ln (e^{x} + x e^{x})}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{x} + x e^{x}) \ln (e^{x} + x e^{x})} \frac{d}{d x} [e^{x} + x e^{x}]$

Schritt 2.2.4.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von

$e^{x} + x e^{x}$ nach

$x$

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{x} + x e^{x}) \ln (e^{x} + x e^{x})} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [x e^{x}])$

Schritt 2.2.5

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass

$\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich

$a^{x} \ln (a)$ ist, wobei

$a$ =

$e$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{x} + x e^{x}) \ln (e^{x} + x e^{x})} (e^{x} + \frac{d}{d x} [x e^{x}])$

Schritt 2.2.6

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass

$\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich

$f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit

$f (x) = x$ und

$g (x) = e^{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{x} + x e^{x}) \ln (e^{x} + x e^{x})} (e^{x} + x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.2.7

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass

$\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich

$a^{x} \ln (a)$ ist, wobei

$a$ =

$e$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{x} + x e^{x}) \ln (e^{x} + x e^{x})} (e^{x} + x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.2.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 2.2.8.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich

$n x^{n - 1}$ ist mit

$n = 1$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{x} + x e^{x}) \ln (e^{x} + x e^{x})} (e^{x} + x e^{x} + e^{x} \cdot 1)$

Schritt 2.2.8.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 2.2.8.2.1

Mutltipliziere

$e^{x}$ mit

$1$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{x} + x e^{x}) \ln (e^{x} + x e^{x})} (e^{x} + x e^{x} + e^{x})$

Schritt 2.2.8.2.2

Addiere

$e^{x}$ und

$e^{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{(e^{x} + x e^{x}) \ln (e^{x} + x e^{x})} (x e^{x} + 2 e^{x})$

Schritt 2.2.9

Vereinfache.

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Schritt 2.2.9.1

Stelle die Faktoren von

$\frac{1}{(e^{x} + x e^{x}) \ln (e^{x} + x e^{x})} (x e^{x} + 2 e^{x})$ um.

$\frac{y'}{y} = (x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{1}{(e^{x} + x e^{x}) \ln (e^{x} + x e^{x})}$

Schritt 2.2.9.2

Faktorisiere

$e^{x}$ aus

$e^{x} + x e^{x}$ heraus.

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Schritt 2.2.9.2.1

Multipliziere mit

$1$ .

$\frac{y'}{y} = (x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{1}{(e^{x} \cdot 1 + x e^{x}) \ln (e^{x} + x e^{x})}$

Schritt 2.2.9.2.2

Faktorisiere

$e^{x}$ aus

$x e^{x}$ heraus.

$\frac{y'}{y} = (x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{1}{(e^{x} \cdot 1 + e^{x} x) \ln (e^{x} + x e^{x})}$

Schritt 2.2.9.2.3

Faktorisiere

$e^{x}$ aus

$e^{x} \cdot 1 + e^{x} x$ heraus.

$\frac{y'}{y} = (x e^{x} + 2 e^{x}) \frac{1}{e^{x} (1 + x) \ln (e^{x} + x e^{x})}$

Schritt 2.2.9.3

Mutltipliziere

$x e^{x} + 2 e^{x}$ mit

$\frac{1}{e^{x} (1 + x) \ln (e^{x} + x e^{x})}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{x e^{x} + 2 e^{x}}{e^{x} (1 + x) \ln (e^{x} + x e^{x})}$

Schritt 2.2.9.4

Faktorisiere

$e^{x}$ aus

$x e^{x} + 2 e^{x}$ heraus.

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Schritt 2.2.9.4.1

Faktorisiere

$e^{x}$ aus

$x e^{x}$ heraus.

$\frac{y'}{y} = \frac{e^{x} x + 2 e^{x}}{e^{x} (1 + x) \ln (e^{x} + x e^{x})}$

Schritt 2.2.9.4.2

Faktorisiere

$e^{x}$ aus

$2 e^{x}$ heraus.

$\frac{y'}{y} = \frac{e^{x} x + e^{x} \cdot 2}{e^{x} (1 + x) \ln (e^{x} + x e^{x})}$

Schritt 2.2.9.4.3

Faktorisiere

$e^{x}$ aus

$e^{x} x + e^{x} \cdot 2$ heraus.

$\frac{y'}{y} = \frac{e^{x} (x + 2)}{e^{x} (1 + x) \ln (e^{x} + x e^{x})}$

Schritt 2.2.9.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$e^{x}$ .

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Schritt 2.2.9.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y'}{y} = \frac{e^{x} (x + 2)}{e^{x} (1 + x) \ln (e^{x} + x e^{x})}$

Schritt 2.2.9.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y'}{y} = \frac{x + 2}{(1 + x) \ln (e^{x} + x e^{x})}$

Schritt 2.2.9.6

Stelle die Faktoren in

$\frac{x + 2}{(1 + x) \ln (e^{x} + x e^{x})}$ um.

$\frac{y'}{y} = \frac{x + 2}{\ln (e^{x} + x e^{x}) (1 + x)}$

Schritt 3

Isoliere

$y'$ und ersetze die Originalfunktion für

$y$ auf der rechten Seite.

$y' = \frac{x + 2}{\ln (e^{x} + x e^{x}) (1 + x)} \ln (e^{x} + x e^{x})$

Schritt 4

Kürze den gemeinsamen Faktor von

$\ln (e^{x} + x e^{x})$ .

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{x + 2}{\ln (e^{x} + x e^{x}) (1 + x)} \ln (e^{x} + x e^{x})$

Schritt 4.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{x + 2}{1 + x}$