Analysis Beispiele

$\frac{2 x}{x^{2} + y^{2}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 1.1

Da $2 x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2 x}{x^{2} + y^{2}}$ nach $y$ gleich $2 x \frac{d}{d y} [\frac{1}{x^{2} + y^{2}}]$ .

$2 x \frac{d}{d y} [\frac{1}{x^{2} + y^{2}}]$

Schritt 1.2

Schreibe $\frac{1}{x^{2} + y^{2}}$ als ${(x^{2} + y^{2})}^{- 1}$ um.

$2 x \frac{d}{d y} [{(x^{2} + y^{2})}^{- 1}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = y^{- 1}$ und $g (y) = x^{2} + y^{2}$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + y^{2}$ .

$2 x (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$2 x (- u^{- 2} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + y^{2}$ .

$2 x (- {(x^{2} + y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 x ({(x^{2} + y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d y} [x^{2} + y^{2}])$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + y^{2}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$- 2 x ({(x^{2} + y^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]))$

Schritt 3.3

Da $x^{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $x^{2}$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$- 2 x ({(x^{2} + y^{2})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]))$

Schritt 3.4

Addiere $0$ und $\frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$- 2 x ({(x^{2} + y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 2 x ({(x^{2} + y^{2})}^{- 2} (2 y))$

Schritt 3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.6.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${(x^{2} + y^{2})}^{- 2}$ .

$- 2 x (2 \cdot {(x^{2} + y^{2})}^{- 2} y)$

Schritt 3.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$- 4 x ({(x^{2} + y^{2})}^{- 2} y)$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 x (\frac{1}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} y)$

Schritt 4.2

Vereine die Terme

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Schritt 4.2.1

Kombiniere $\frac{1}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$ und $y$ .

$- 4 x \frac{y}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Schritt 4.2.2

Kombiniere $- 4$ und $\frac{y}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$ .

$x \frac{- 4 y}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Schritt 4.2.3

Kombiniere $x$ und $\frac{- 4 y}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$ .

$\frac{x (- 4 y)}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Schritt 4.2.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x \cdot 4 y}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Schritt 4.2.5

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$- \frac{4 x y}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$