Analysis Beispiele

$\int \sqrt{x^{2} + 4} d x$

Schritt 1

Sei $x = 2 \tan (t)$ , mit $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Dann ist $d x = 2 \sec^{2} (t) d t$ . Beachte, dass wegen $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $2 \sec^{2} (t)$ positiv ist.

$\int \sqrt{{(2 \tan (t))}^{2} + 4} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Schritt 2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1

Vereinfache $\sqrt{{(2 \tan (t))}^{2} + 4}$ .

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Schritt 2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $2 \tan (t)$ an.

$\int \sqrt{2^{2} \tan^{2} (t) + 4} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Schritt 2.1.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\int \sqrt{4 \tan^{2} (t) + 4} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $4$ aus $4 \tan^{2} (t) + 4$ heraus.

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Schritt 2.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4 \tan^{2} (t)$ heraus.

$\int \sqrt{4 (\tan^{2} (t)) + 4} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Schritt 2.1.2.2

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$\int \sqrt{4 (\tan^{2} (t)) + 4 (1)} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Schritt 2.1.2.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (\tan^{2} (t)) + 4 (1)$ heraus.

$\int \sqrt{4 (\tan^{2} (t) + 1)} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Schritt 2.1.3

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\int \sqrt{4 \sec^{2} (t)} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Schritt 2.1.4

Schreibe $4 \sec^{2} (t)$ als ${(2 \sec (t))}^{2}$ um.

$\int \sqrt{{(2 \sec (t))}^{2}} (2 \sec^{2} (t)) d t$

Schritt 2.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\int 2 \sec (t) (2 \sec^{2} (t)) d t$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\int 4 \sec (t) \sec^{2} (t) d t$

Schritt 2.2.2

Multipliziere $\sec (t)$ mit $\sec^{2} (t)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.2.1

Bewege $\sec^{2} (t)$ .

$\int 4 (\sec^{2} (t) \sec (t)) d t$

Schritt 2.2.2.2

Mutltipliziere $\sec^{2} (t)$ mit $\sec (t)$ .

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Schritt 2.2.2.2.1

Potenziere $\sec (t)$ mit $1$ .

$\int 4 (\sec^{2} (t) \sec^{1} (t)) d t$

Schritt 2.2.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int 4 {\sec (t)}^{2 + 1} d t$

Schritt 2.2.2.3

Addiere $2$ und $1$ .

$\int 4 \sec^{3} (t) d t$

Schritt 3

Da $4$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$4 \int \sec^{3} (t) d t$

Schritt 4

Faktorisiere $\sec (t)$ aus $\sec^{3} (t)$ heraus.

$4 \int \sec (t) \sec^{2} (t) d t$

Schritt 5

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \sec (t)$ und $d v = \sec^{2} (t)$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t)$

Schritt 6

Potenziere $\tan (t)$ mit $1$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan (t) \sec (t) d t)$

Schritt 7

Potenziere $\tan (t)$ mit $1$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan^{1} (t) \sec (t) d t)$

Schritt 8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

Schritt 9

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 9.1

Addiere $1$ und $1$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{2} (t) \sec (t) d t)$

Schritt 9.2

Stelle $\tan^{2} (t)$ und $\sec (t)$ um.

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \tan^{2} (t) d t)$

Schritt 10

Schreibe $\tan^{2} (t)$ in $- 1 + \sec^{2} (t)$ um unter Verwendung des trigonometrischen Pythagoras.

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec^{2} (t)) d t)$

Schritt 11

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 11.1

Schreibe die Potenz um als ein Produkt.

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec (t) \sec (t)) d t)$

Schritt 11.2

Wende das Distributivgesetz an.

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \cdot - 1 + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

Schritt 11.3

Stelle $\sec (t)$ und $- 1$ um.

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \cdot \sec (t) + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

Schritt 12

Potenziere $\sec (t)$ mit $1$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec (t) \sec (t) d t)$

Schritt 13

Potenziere $\sec (t)$ mit $1$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec^{1} (t) \sec (t) d t)$

Schritt 14

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

Schritt 15

Addiere $1$ und $1$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec (t) d t)$

Schritt 16

Potenziere $\sec (t)$ mit $1$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) d t)$

Schritt 17

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{2 + 1} d t)$

Schritt 18

Addiere $2$ und $1$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{3} (t) d t)$

Schritt 19

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$4 (\sec (t) \tan (t) - (\int - 1 \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

Schritt 20

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$4 (\sec (t) \tan (t) - (- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

Schritt 21

Das Integral von $\sec (t)$ nach $t$ ist $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) - (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t))$

Schritt 22

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 22.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 (\sec (t) \tan (t) - - (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

Schritt 22.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$4 (\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

Schritt 23

Wenn nach $\int \sec^{3} (t) d t$ aufgelöst wird, erhalten wir $\int \sec^{3} (t) d t$ = $\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2}$ .

$4 (\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2} + C)$

Schritt 24

Mutltipliziere $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$ mit $1$ .

$4 (\frac{\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C}{2} + C)$

Schritt 25

Vereinfache.

$4 (\frac{1}{2}) (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Schritt 26

Schreibe $4 (\frac{1}{2}) (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$ als $2 (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$ um.

$2 (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Schritt 27

Ersetze alle $t$ durch $\arctan (\frac{x}{2})$ .

$2 (\sec (\arctan (\frac{x}{2})) \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Schritt 28

Vereinfache.

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Schritt 28.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 28.1.1

Zeichne ein Dreieck in die Ebene mit den Eckpunkten $(1, \frac{x}{2})$ , $(1, 0)$ und dem Ursprung. Dann ist $\arctan (\frac{x}{2})$ der Winkel zwischen der positiven x-Achse und dem Strahl, der im Ursprung beginnt und durch $(1, \frac{x}{2})$ verläuft. Folglich ist $\sec (\arctan (\frac{x}{2}))$ $\sqrt{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}}$ .

$2 (\sqrt{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Schritt 28.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{x}{2}$ an.

$2 (\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{2^{2}}} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Schritt 28.1.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$2 (\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{4}} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Schritt 28.1.4

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$2 (\sqrt{\frac{4}{4} + \frac{x^{2}}{4}} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Schritt 28.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 (\sqrt{\frac{4 + x^{2}}{4}} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Schritt 28.1.6

Schreibe $\frac{4 + x^{2}}{4}$ als ${(\frac{1}{2})}^{2} (4 + x^{2})$ um.

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Schritt 28.1.6.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $4 + x^{2}$ heraus.

$2 (\sqrt{\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{4}} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Schritt 28.1.6.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $2^{2}$ aus $4$ heraus.

$2 (\sqrt{\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Schritt 28.1.6.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}$ um.

$2 (\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (4 + x^{2})} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Schritt 28.1.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$2 (\frac{1}{2} \sqrt{4 + x^{2}} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Schritt 28.1.8

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sqrt{4 + x^{2}}$ .

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} \tan (\arctan (\frac{x}{2})) + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Schritt 28.1.9

Die Funktionen Tangens und Arkustangens sind Inverse.

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} \cdot \frac{x}{2} + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Schritt 28.1.10

Kombinieren.

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{2 \cdot 2} + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Schritt 28.1.11

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \sec (\arctan (\frac{x}{2})) + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Schritt 28.1.12

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 28.1.12.1

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \sqrt{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Schritt 28.1.12.2

Wende die Produktregel auf $\frac{x}{2}$ an.

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \sqrt{1 + \frac{x^{2}}{2^{2}}} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Schritt 28.1.12.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \sqrt{1 + \frac{x^{2}}{4}} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Schritt 28.1.12.4

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \sqrt{\frac{4}{4} + \frac{x^{2}}{4}} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Schritt 28.1.12.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \sqrt{\frac{4 + x^{2}}{4}} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Schritt 28.1.12.6

Schreibe $\frac{4 + x^{2}}{4}$ als ${(\frac{1}{2})}^{2} (4 + x^{2})$ um.

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Schritt 28.1.12.6.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $4 + x^{2}$ heraus.

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \sqrt{\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{4}} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Schritt 28.1.12.6.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $2^{2}$ aus $4$ heraus.

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \sqrt{\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Schritt 28.1.12.6.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} (4 + x^{2})}{2^{2} \cdot 1}$ um.

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (4 + x^{2})} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Schritt 28.1.12.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \frac{1}{2} \sqrt{4 + x^{2}} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Schritt 28.1.12.8

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sqrt{4 + x^{2}}$ .

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \tan (\arctan (\frac{x}{2})) |)) + C$

Schritt 28.1.12.9

Die Funktionen Tangens und Arkustangens sind Inverse.

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \frac{\sqrt{4 + x^{2}}}{2} + \frac{x}{2} |)) + C$

Schritt 28.1.13

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (| \frac{\sqrt{4 + x^{2}} + x}{2} |)) + C$

Schritt 28.1.14

Entferne nicht-negative Terme aus dem Absolutwert.

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2})) + C$

Schritt 28.2

Um $\ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2})$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2}) \cdot \frac{4}{4}) + C$

Schritt 28.3

Kombiniere $\ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2})$ und $\frac{4}{4}$ .

$2 (\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x}{4} + \frac{\ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2}) \cdot 4}{4}) + C$

Schritt 28.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 \frac{\sqrt{4 + x^{2}} x + \ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2}) \cdot 4}{4} + C$

Schritt 28.5

Bringe $4$ auf die linke Seite von $\ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2})$ .

$2 \frac{\sqrt{4 + x^{2}} x + 4 \ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2})}{4} + C$

Schritt 28.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 28.6.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$2 \frac{\sqrt{4 + x^{2}} x + 4 \ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2})}{2 (2)} + C$

Schritt 28.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{\sqrt{4 + x^{2}} x + 4 \ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2})}{2 \cdot 2} + C$

Schritt 28.6.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{4 + x^{2}} x + 4 \ln (\frac{| \sqrt{4 + x^{2}} + x |}{2})}{2} + C$

Schritt 29

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{2} (\sqrt{4 + x^{2}} x + 4 \ln (\frac{1}{2} | \sqrt{4 + x^{2}} + x |)) + C$