Analysis Beispiele

$\int {(2 - \frac{1}{p^{2}})}^{2} d p$

Schritt 1

Vereinfache.

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Schritt 1.1

Schreibe ${(2 - \frac{1}{p^{2}})}^{2}$ als $(2 - \frac{1}{p^{2}}) (2 - \frac{1}{p^{2}})$ um.

$\int (2 - \frac{1}{p^{2}}) (2 - \frac{1}{p^{2}}) d p$

Schritt 1.2

Multipliziere $(2 - \frac{1}{p^{2}}) (2 - \frac{1}{p^{2}})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int 2 (2 - \frac{1}{p^{2}}) - \frac{1}{p^{2}} (2 - \frac{1}{p^{2}}) d p$

Schritt 1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\int 2 \cdot 2 + 2 (- \frac{1}{p^{2}}) - \frac{1}{p^{2}} (2 - \frac{1}{p^{2}}) d p$

Schritt 1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\int 2 \cdot 2 + 2 (- \frac{1}{p^{2}}) - \frac{1}{p^{2}} \cdot 2 - \frac{1}{p^{2}} (- \frac{1}{p^{2}}) d p$

Schritt 1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\int 4 + 2 (- \frac{1}{p^{2}}) - \frac{1}{p^{2}} \cdot 2 - \frac{1}{p^{2}} (- \frac{1}{p^{2}}) d p$

Schritt 1.3.1.2

Multipliziere $2 (- \frac{1}{p^{2}})$ .

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Schritt 1.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\int 4 - 2 \frac{1}{p^{2}} - \frac{1}{p^{2}} \cdot 2 - \frac{1}{p^{2}} (- \frac{1}{p^{2}}) d p$

Schritt 1.3.1.2.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{p^{2}}$ .

$\int 4 + \frac{- 2}{p^{2}} - \frac{1}{p^{2}} \cdot 2 - \frac{1}{p^{2}} (- \frac{1}{p^{2}}) d p$

Schritt 1.3.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int 4 - \frac{2}{p^{2}} - \frac{1}{p^{2}} \cdot 2 - \frac{1}{p^{2}} (- \frac{1}{p^{2}}) d p$

Schritt 1.3.1.4

Multipliziere $- \frac{1}{p^{2}} \cdot 2$ .

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Schritt 1.3.1.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\int 4 - \frac{2}{p^{2}} - 2 \frac{1}{p^{2}} - \frac{1}{p^{2}} (- \frac{1}{p^{2}}) d p$

Schritt 1.3.1.4.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{p^{2}}$ .

$\int 4 - \frac{2}{p^{2}} + \frac{- 2}{p^{2}} - \frac{1}{p^{2}} (- \frac{1}{p^{2}}) d p$

Schritt 1.3.1.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int 4 - \frac{2}{p^{2}} - \frac{2}{p^{2}} - \frac{1}{p^{2}} (- \frac{1}{p^{2}}) d p$

Schritt 1.3.1.6

Multipliziere $- \frac{1}{p^{2}} (- \frac{1}{p^{2}})$ .

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Schritt 1.3.1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\int 4 - \frac{2}{p^{2}} - \frac{2}{p^{2}} + 1 \frac{1}{p^{2}} \frac{1}{p^{2}} d p$

Schritt 1.3.1.6.2

Mutltipliziere $\frac{1}{p^{2}}$ mit $1$ .

$\int 4 - \frac{2}{p^{2}} - \frac{2}{p^{2}} + \frac{1}{p^{2}} \cdot \frac{1}{p^{2}} d p$

Schritt 1.3.1.6.3

Mutltipliziere $\frac{1}{p^{2}}$ mit $\frac{1}{p^{2}}$ .

$\int 4 - \frac{2}{p^{2}} - \frac{2}{p^{2}} + \frac{1}{p^{2} p^{2}} d p$

Schritt 1.3.1.6.4

Multipliziere $p^{2}$ mit $p^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.1.6.4.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int 4 - \frac{2}{p^{2}} - \frac{2}{p^{2}} + \frac{1}{p^{2 + 2}} d p$

Schritt 1.3.1.6.4.2

Addiere $2$ und $2$ .

$\int 4 - \frac{2}{p^{2}} - \frac{2}{p^{2}} + \frac{1}{p^{4}} d p$

Schritt 1.3.2

Subtrahiere $\frac{2}{p^{2}}$ von $- \frac{2}{p^{2}}$ .

$\int 4 - 2 \frac{2}{p^{2}} + \frac{1}{p^{4}} d p$

Schritt 1.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.1

Multipliziere $- 2 \frac{2}{p^{2}}$ .

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Schritt 1.4.1.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{2}{p^{2}}$ .

$\int 4 + \frac{- 2 \cdot 2}{p^{2}} + \frac{1}{p^{4}} d p$

Schritt 1.4.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$\int 4 + \frac{- 4}{p^{2}} + \frac{1}{p^{4}} d p$

Schritt 1.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int 4 - \frac{4}{p^{2}} + \frac{1}{p^{4}} d p$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 4 d p + \int - \frac{4}{p^{2}} d p + \int \frac{1}{p^{4}} d p$

Schritt 3

Wende die Konstantenregel an.

$4 p + C + \int - \frac{4}{p^{2}} d p + \int \frac{1}{p^{4}} d p$

Schritt 4

Da $- 1$ konstant bezüglich $p$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$4 p + C - \int \frac{4}{p^{2}} d p + \int \frac{1}{p^{4}} d p$

Schritt 5

Da $4$ konstant bezüglich $p$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$4 p + C - (4 \int \frac{1}{p^{2}} d p) + \int \frac{1}{p^{4}} d p$

Schritt 6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$4 p + C - 4 \int \frac{1}{p^{2}} d p + \int \frac{1}{p^{4}} d p$

Schritt 6.2

Bringe $p^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$4 p + C - 4 \int {(p^{2})}^{- 1} d p + \int \frac{1}{p^{4}} d p$

Schritt 6.3

Multipliziere die Exponenten in ${(p^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 6.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 p + C - 4 \int p^{2 \cdot - 1} d p + \int \frac{1}{p^{4}} d p$

Schritt 6.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$4 p + C - 4 \int p^{- 2} d p + \int \frac{1}{p^{4}} d p$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $p^{- 2}$ nach $p$ gleich $- p^{- 1}$ .

$4 p + C - 4 (- p^{- 1} + C) + \int \frac{1}{p^{4}} d p$

Schritt 8

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 8.1

Bringe $p^{4}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$4 p + C - 4 (- p^{- 1} + C) + \int {(p^{4})}^{- 1} d p$

Schritt 8.2

Multipliziere die Exponenten in ${(p^{4})}^{- 1}$ .

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Schritt 8.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 p + C - 4 (- p^{- 1} + C) + \int p^{4 \cdot - 1} d p$

Schritt 8.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$4 p + C - 4 (- p^{- 1} + C) + \int p^{- 4} d p$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $p^{- 4}$ nach $p$ gleich $- \frac{1}{3} p^{- 3}$ .

$4 p + C - 4 (- p^{- 1} + C) - \frac{1}{3} p^{- 3} + C$

Schritt 10

Vereinfache.

$4 p + \frac{4}{p} - \frac{1}{3} p^{- 3} + C$