Analysis Beispiele

$\frac{- 4}{x^{3}} + \frac{1}{x}$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{- 4}{x^{3}} + \frac{1}{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{- 4}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{- 4}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{- 4}{x^{3}}]$ .

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Schritt 2.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 2.2

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{4}{x^{3}}$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 2.3

Schreibe $\frac{1}{x^{3}}$ als ${(x^{3})}^{- 1}$ um.

$- 4 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{3}$ .

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Schritt 2.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{3}$ .

$- 4 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- 4 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 2.4.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{3}$ .

$- 4 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- 4 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 2.6

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Schritt 2.6.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 4 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 2.6.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$- 4 (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 2.7

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- 4 (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 2.8

Multipliziere $x^{- 6}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.8.1

Bewege $x^{2}$ .

$- 4 (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 2.8.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 4 (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 2.8.3

Subtrahiere $6$ von $2$ .

$- 4 (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 2.9

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 4$ .

$12 x^{- 4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

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Schritt 3.1

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$12 x^{- 4} + \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$12 x^{- 4} - x^{- 2}$

Schritt 4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$12 \frac{1}{x^{4}} - x^{- 2}$

Schritt 5

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$12 \frac{1}{x^{4}} - \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Kombiniere $12$ und $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{12}{x^{4}} - \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 6.2

Stelle die Terme um.

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{12}{x^{4}}$