Analysis Beispiele

$lim_{x \to \frac{1}{2}} - 5 e^{- x^{4} - \frac{1}{4}}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Ziehe den Term $- 5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$- 5 lim_{x \to \frac{1}{2}} e^{- x^{4} - \frac{1}{4}}$

Schritt 1.2

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$- 5 e^{lim_{x \to \frac{1}{2}} - x^{4} - \frac{1}{4}}$

Schritt 1.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\frac{1}{2}$ annähert.

$- 5 e^{- lim_{x \to \frac{1}{2}} x^{4} - lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{1}{4}}$

Schritt 1.4

Ziehe den Exponenten $4$ von $x^{4}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$- 5 e^{- {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{4} - lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{1}{4}}$

Schritt 1.5

Berechne den Grenzwert von $\frac{1}{4}$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\frac{1}{2}$ annähert.

$- 5 e^{- {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{4} - \frac{1}{4}}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $\frac{1}{2}$ für $x$ .

$- 5 e^{- {(\frac{1}{2})}^{4} - \frac{1}{4}}$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$- 5 e^{- \frac{1^{4}}{2^{4}} - \frac{1}{4}}$

Schritt 3.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- 5 e^{- \frac{1}{2^{4}} - \frac{1}{4}}$

Schritt 3.1.3

Potenziere $2$ mit $4$ .

$- 5 e^{- \frac{1}{16} - \frac{1}{4}}$

Schritt 3.2

Um $- \frac{1}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$- 5 e^{- \frac{1}{16} - \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{4}}$

Schritt 3.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $16$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$- 5 e^{- \frac{1}{16} - \frac{4}{4 \cdot 4}}$

Schritt 3.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$- 5 e^{- \frac{1}{16} - \frac{4}{16}}$

Schritt 3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- 5 e^{\frac{- 1 - 4}{16}}$

Schritt 3.5

Subtrahiere $4$ von $- 1$ .

$- 5 e^{\frac{- 5}{16}}$

Schritt 3.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- 5 e^{- \frac{5}{16}}$

Schritt 3.7

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 5 \frac{1}{e^{\frac{5}{16}}}$

Schritt 3.8

Kombiniere $- 5$ und $\frac{1}{e^{\frac{5}{16}}}$ .

$\frac{- 5}{e^{\frac{5}{16}}}$

Schritt 3.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{5}{e^{\frac{5}{16}}}$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{5}{e^{\frac{5}{16}}}$

Dezimalform:

$- 3.65807814 \dots$