Analysis Beispiele

$x^{2} - 4 x y + 2 y^{2} = - 4 x$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x^{2} - 4 x y + 2 y^{2}) = \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 4 x y + 2 y^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x y] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x y] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x y] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 x y]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x y$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 x - 4 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$2 x - 4 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

Schritt 2.2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 x - 4 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 x - 4 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

Schritt 2.2.5

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$2 x - 4 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 y^{2}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 y^{2}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$2 x - 4 (x y' + y) + 2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$2 x - 4 (x y' + y) + 2 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x - 4 (x y' + y) + 2 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$2 x - 4 (x y' + y) + 2 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 x - 4 (x y' + y) + 2 (2 y y')$

Schritt 2.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$2 x - 4 (x y' + y) + 4 y y'$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x - 4 (x y') - 4 y + 4 y y'$

Schritt 2.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$2 x - 4 x y' - 4 y + 4 y y'$

Schritt 2.4.3

Stelle die Terme um.

$- 4 x y' + 4 y y' + 2 x - 4 y$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 4 \cdot 1$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$- 4$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$- 4 x y' + 4 y y' + 2 x - 4 y = - 4$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1.1

Subtrahiere $2 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 4 x y' + 4 y y' - 4 y = - 4 - 2 x$

Schritt 5.1.2

Addiere $4 y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 4 x y' + 4 y y' = - 4 - 2 x + 4 y$

Schritt 5.2

Faktorisiere $4 y'$ aus $- 4 x y' + 4 y y'$ heraus.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $4 y'$ aus $- 4 x y'$ heraus.

$4 y' (- x) + 4 y y' = - 4 - 2 x + 4 y$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere $4 y'$ aus $4 y y'$ heraus.

$4 y' (- x) + 4 y' y = - 4 - 2 x + 4 y$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $4 y'$ aus $4 y' (- x) + 4 y' y$ heraus.

$4 y' (- x + y) = - 4 - 2 x + 4 y$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $4 y' (- x + y) = - 4 - 2 x + 4 y$ durch $4 (- x + y)$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $4 y' (- x + y) = - 4 - 2 x + 4 y$ durch $4 (- x + y)$ .

$\frac{4 y' (- x + y)}{4 (- x + y)} = \frac{- 4}{4 (- x + y)} + \frac{- 2 x}{4 (- x + y)} + \frac{4 y}{4 (- x + y)}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 y' (- x + y)}{4 (- x + y)} = \frac{- 4}{4 (- x + y)} + \frac{- 2 x}{4 (- x + y)} + \frac{4 y}{4 (- x + y)}$

Schritt 5.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (- x + y)}{- x + y} = \frac{- 4}{4 (- x + y)} + \frac{- 2 x}{4 (- x + y)} + \frac{4 y}{4 (- x + y)}$

Schritt 5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- x + y$ .

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Schritt 5.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (- x + y)}{- x + y} = \frac{- 4}{4 (- x + y)} + \frac{- 2 x}{4 (- x + y)} + \frac{4 y}{4 (- x + y)}$

Schritt 5.3.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 4}{4 (- x + y)} + \frac{- 2 x}{4 (- x + y)} + \frac{4 y}{4 (- x + y)}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $4$ .

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Schritt 5.3.3.1.1.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$y' = \frac{4 \cdot - 1}{4 (- x + y)} + \frac{- 2 x}{4 (- x + y)} + \frac{4 y}{4 (- x + y)}$

Schritt 5.3.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.3.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{4 \cdot - 1}{4 (- x + y)} + \frac{- 2 x}{4 (- x + y)} + \frac{4 y}{4 (- x + y)}$

Schritt 5.3.3.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{- 1}{- x + y} + \frac{- 2 x}{4 (- x + y)} + \frac{4 y}{4 (- x + y)}$

Schritt 5.3.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{1}{- x + y} + \frac{- 2 x}{4 (- x + y)} + \frac{4 y}{4 (- x + y)}$

Schritt 5.3.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $4$ .

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Schritt 5.3.3.1.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$y' = - \frac{1}{- x + y} + \frac{2 (- x)}{4 (- x + y)} + \frac{4 y}{4 (- x + y)}$

Schritt 5.3.3.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.3.1.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4 (- x + y)$ heraus.

$y' = - \frac{1}{- x + y} + \frac{2 (- x)}{2 (2 (- x + y))} + \frac{4 y}{4 (- x + y)}$

Schritt 5.3.3.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = - \frac{1}{- x + y} + \frac{2 (- x)}{2 (2 (- x + y))} + \frac{4 y}{4 (- x + y)}$

Schritt 5.3.3.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = - \frac{1}{- x + y} + \frac{- x}{2 (- x + y)} + \frac{4 y}{4 (- x + y)}$

Schritt 5.3.3.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{1}{- x + y} - \frac{x}{2 (- x + y)} + \frac{4 y}{4 (- x + y)}$

Schritt 5.3.3.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.3.3.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = - \frac{1}{- x + y} - \frac{x}{2 (- x + y)} + \frac{4 y}{4 (- x + y)}$

Schritt 5.3.3.1.5.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = - \frac{1}{- x + y} - \frac{x}{2 (- x + y)} + \frac{y}{- x + y}$

Schritt 5.3.3.2

Um $- \frac{1}{- x + y}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{1}{- x + y} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x}{2 (- x + y)} + \frac{y}{- x + y}$

Schritt 5.3.3.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(- x + y) \cdot 2$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.3.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{- x + y}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{2}{(- x + y) \cdot 2} - \frac{x}{2 (- x + y)} + \frac{y}{- x + y}$

Schritt 5.3.3.3.2

Stelle die Faktoren von $(- x + y) \cdot 2$ um.

$y' = - \frac{2}{2 (- x + y)} - \frac{x}{2 (- x + y)} + \frac{y}{- x + y}$

Schritt 5.3.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{- 2 - x}{2 (- x + y)} + \frac{y}{- x + y}$

Schritt 5.3.3.5

Um $\frac{y}{- x + y}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y' = \frac{- 2 - x}{2 (- x + y)} + \frac{y}{- x + y} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 5.3.3.6

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $2 (- x + y)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.3.3.6.1

Mutltipliziere $\frac{y}{- x + y}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$y' = \frac{- 2 - x}{2 (- x + y)} + \frac{y \cdot 2}{(- x + y) \cdot 2}$

Schritt 5.3.3.6.2

Stelle die Faktoren von $(- x + y) \cdot 2$ um.

$y' = \frac{- 2 - x}{2 (- x + y)} + \frac{y \cdot 2}{2 (- x + y)}$

Schritt 5.3.3.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{- 2 - x + y \cdot 2}{2 (- x + y)}$

Schritt 5.3.3.8

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y$ .

$y' = \frac{- 2 - x + 2 y}{2 (- x + y)}$

Schritt 5.3.3.9

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.3.3.9.1

Schreibe $- 2$ als $- 1 (2)$ um.

$y' = \frac{- 1 (2) - x + 2 y}{2 (- x + y)}$

Schritt 5.3.3.9.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$y' = \frac{- 1 (2) - (x) + 2 y}{2 (- x + y)}$

Schritt 5.3.3.9.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (2) - (x)$ heraus.

$y' = \frac{- 1 (2 + x) + 2 y}{2 (- x + y)}$

Schritt 5.3.3.9.4

Faktorisiere $- 1$ aus $2 y$ heraus.

$y' = \frac{- 1 (2 + x) - (- 2 y)}{2 (- x + y)}$

Schritt 5.3.3.9.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (2 + x) - (- 2 y)$ heraus.

$y' = \frac{- 1 (2 + x - 2 y)}{2 (- x + y)}$

Schritt 5.3.3.9.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$y' = \frac{- 1 (2 + x - 2 y)}{2 (- (x) + y)}$

Schritt 5.3.3.9.7

Faktorisiere $- 1$ aus $y$ heraus.

$y' = \frac{- 1 (2 + x - 2 y)}{2 (- (x) - 1 (- y))}$

Schritt 5.3.3.9.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- y)$ heraus.

$y' = \frac{- 1 (2 + x - 2 y)}{2 (- (x - y))}$

Schritt 5.3.3.9.9

Schreibe $- (x - y)$ als $- 1 (x - y)$ um.

$y' = \frac{- 1 (2 + x - 2 y)}{2 (- 1 (x - y))}$

Schritt 5.3.3.9.10

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{- 1 (2 + x - 2 y)}{2 (- 1 (x - y))}$

Schritt 5.3.3.9.11

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{2 + x - 2 y}{2 (x - y)}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 + x - 2 y}{2 (x - y)}$