Analysis Beispiele

$y = (2 x - 3) (x + 5)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = 2 x - 3$ und $g (x) = x + 5$ .

$(2 x - 3) \frac{d}{d x} [x + 5] + (x + 5) \frac{d}{d x} [2 x - 3]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$(2 x - 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) + (x + 5) \frac{d}{d x} [2 x - 3]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(2 x - 3) (1 + \frac{d}{d x} [5]) + (x + 5) \frac{d}{d x} [2 x - 3]$

Schritt 2.3

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(2 x - 3) (1 + 0) + (x + 5) \frac{d}{d x} [2 x - 3]$

Schritt 2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$(2 x - 3) \cdot 1 + (x + 5) \frac{d}{d x} [2 x - 3]$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $2 x - 3$ mit $1$ .

$2 x - 3 + (x + 5) \frac{d}{d x} [2 x - 3]$

Schritt 2.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$2 x - 3 + (x + 5) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Schritt 2.6

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - 3 + (x + 5) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Schritt 2.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 x - 3 + (x + 5) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Schritt 2.8

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 x - 3 + (x + 5) (2 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Schritt 2.9

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 x - 3 + (x + 5) (2 + 0)$

Schritt 2.10

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.10.1

Addiere $2$ und $0$ .

$2 x - 3 + (x + 5) \cdot 2$

Schritt 2.10.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x + 5$ .

$2 x - 3 + 2 \cdot (x + 5)$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x - 3 + 2 x + 2 \cdot 5$

Schritt 3.2

Vereine die Terme

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Schritt 3.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$2 x - 3 + 2 x + 10$

Schritt 3.2.2

Addiere $2 x$ und $2 x$ .

$4 x - 3 + 10$

Schritt 3.2.3

Addiere $- 3$ und $10$ .

$4 x + 7$