Analysis Beispiele

$lim_{x \to 3} \frac{x^{2} - x - 6}{4 - \sqrt{5 x + 1}}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 3} x^{2} - x - 6}{lim_{x \to 3} 4 - \sqrt{5 x + 1}}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $3$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 3} x^{2} - lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 6}{lim_{x \to 3} 4 - \sqrt{5 x + 1}}$

Schritt 1.1.2.2

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 6}{lim_{x \to 3} 4 - \sqrt{5 x + 1}}$

Schritt 1.1.2.3

Berechne den Grenzwert von $6$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $3$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x)}^{2} - lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 6}{lim_{x \to 3} 4 - \sqrt{5 x + 1}}$

Schritt 1.1.2.4

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $3$ für alle $x$ .

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Schritt 1.1.2.4.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $3$ für $x$ .

$\frac{3^{2} - lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 6}{lim_{x \to 3} 4 - \sqrt{5 x + 1}}$

Schritt 1.1.2.4.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $3$ für $x$ .

$\frac{3^{2} - 3 - 1 \cdot 6}{lim_{x \to 3} 4 - \sqrt{5 x + 1}}$

Schritt 1.1.2.5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.2.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.5.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{9 - 3 - 1 \cdot 6}{lim_{x \to 3} 4 - \sqrt{5 x + 1}}$

Schritt 1.1.2.5.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$\frac{9 - 3 - 6}{lim_{x \to 3} 4 - \sqrt{5 x + 1}}$

Schritt 1.1.2.5.2

Subtrahiere $3$ von $9$ .

$\frac{6 - 6}{lim_{x \to 3} 4 - \sqrt{5 x + 1}}$

Schritt 1.1.2.5.3

Subtrahiere $6$ von $6$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} 4 - \sqrt{5 x + 1}}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.3.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $3$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 3} 4 - lim_{x \to 3} \sqrt{5 x + 1}}$

Schritt 1.1.3.1.2

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $3$ annähert.

$\frac{0}{4 - lim_{x \to 3} \sqrt{5 x + 1}}$

Schritt 1.1.3.1.3

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{0}{4 - \sqrt{lim_{x \to 3} 5 x + 1}}$

Schritt 1.1.3.1.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $3$ annähert.

$\frac{0}{4 - \sqrt{lim_{x \to 3} 5 x + lim_{x \to 3} 1}}$

Schritt 1.1.3.1.5

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{0}{4 - \sqrt{5 lim_{x \to 3} x + lim_{x \to 3} 1}}$

Schritt 1.1.3.1.6

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $3$ annähert.

$\frac{0}{4 - \sqrt{5 lim_{x \to 3} x + 1}}$

Schritt 1.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $3$ für $x$ .

$\frac{0}{4 - \sqrt{5 \cdot 3 + 1}}$

Schritt 1.1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.3.1.1

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$\frac{0}{4 - \sqrt{15 + 1}}$

Schritt 1.1.3.3.1.2

Addiere $15$ und $1$ .

$\frac{0}{4 - \sqrt{16}}$

Schritt 1.1.3.3.1.3

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$\frac{0}{4 - \sqrt{4^{2}}}$

Schritt 1.1.3.3.1.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{0}{4 - 1 \cdot 4}$

Schritt 1.1.3.3.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{0}{4 - 4}$

Schritt 1.1.3.3.2

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 3} \frac{x^{2} - x - 6}{4 - \sqrt{5 x + 1}} = lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - x - 6]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{5 x + 1}]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - x - 6]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{5 x + 1}]}$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - x - 6$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{5 x + 1}]}$

Schritt 1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{5 x + 1}]}$

Schritt 1.3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Schritt 1.3.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{5 x + 1}]}$

Schritt 1.3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{5 x + 1}]}$

Schritt 1.3.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1 + \frac{d}{d x} [- 6]}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{5 x + 1}]}$

Schritt 1.3.5

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1 + 0}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{5 x + 1}]}$

Schritt 1.3.6

Addiere $2 x - 1$ und $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{5 x + 1}]}$

Schritt 1.3.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 - \sqrt{5 x + 1}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{5 x + 1}]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{5 x + 1}]}$

Schritt 1.3.8

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{5 x + 1}]}$

Schritt 1.3.9

Berechne $\frac{d}{d x} [- \sqrt{5 x + 1}]$ .

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Schritt 1.3.9.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5 x + 1}$ als ${(5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 + \frac{d}{d x} [- {(5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}]}$

Schritt 1.3.9.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- {(5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [{(5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - \frac{d}{d x} [{(5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}]}$

Schritt 1.3.9.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 5 x + 1$ .

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Schritt 1.3.9.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $5 x + 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [5 x + 1])}$

Schritt 1.3.9.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 x + 1])}$

Schritt 1.3.9.3.3

Ersetze alle $u$ durch $5 x + 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - (\frac{1}{2} {(5 x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 x + 1])}$

Schritt 1.3.9.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - (\frac{1}{2} {(5 x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]))}$

Schritt 1.3.9.5

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - (\frac{1}{2} {(5 x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))}$

Schritt 1.3.9.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - (\frac{1}{2} {(5 x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]))}$

Schritt 1.3.9.7

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - (\frac{1}{2} {(5 x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (5 \cdot 1 + 0))}$

Schritt 1.3.9.8

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - (\frac{1}{2} {(5 x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (5 \cdot 1 + 0))}$

Schritt 1.3.9.9

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - (\frac{1}{2} {(5 x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (5 \cdot 1 + 0))}$

Schritt 1.3.9.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - (\frac{1}{2} {(5 x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (5 \cdot 1 + 0))}$

Schritt 1.3.9.11

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.9.11.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - (\frac{1}{2} {(5 x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} (5 \cdot 1 + 0))}$

Schritt 1.3.9.11.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - (\frac{1}{2} {(5 x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} (5 \cdot 1 + 0))}$

Schritt 1.3.9.12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - (\frac{1}{2} {(5 x + 1)}^{- \frac{1}{2}} (5 \cdot 1 + 0))}$

Schritt 1.3.9.13

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - (\frac{1}{2} {(5 x + 1)}^{- \frac{1}{2}} (5 + 0))}$

Schritt 1.3.9.14

Addiere $5$ und $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - (\frac{1}{2} {(5 x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 5)}$

Schritt 1.3.9.15

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(5 x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - (\frac{{(5 x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 5)}$

Schritt 1.3.9.16

Kombiniere $\frac{{(5 x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ und $5$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - \frac{{(5 x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 5}{2}}$

Schritt 1.3.9.17

Bringe $5$ auf die linke Seite von ${(5 x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - \frac{5 \cdot {(5 x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}}$

Schritt 1.3.9.18

Bringe ${(5 x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{0 - \frac{5}{2 {(5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}$

Schritt 1.3.10

Subtrahiere $\frac{5}{2 {(5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ von $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 1}{- \frac{5}{2 {(5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}$

Schritt 1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{x \to 3} (2 x - 1) (- \frac{2 {(5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}{5})$

Schritt 1.5

Schreibe ${(5 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ als $\sqrt{5 x + 1}$ um.

$lim_{x \to 3} (2 x - 1) (- \frac{2 \sqrt{5 x + 1}}{5})$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$- lim_{x \to 3} (2 x - 1) \frac{2 \sqrt{5 x + 1}}{5}$

Schritt 2.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $3$ annähert.

$- lim_{x \to 3} 2 x - 1 \cdot lim_{x \to 3} \frac{2 \sqrt{5 x + 1}}{5}$

Schritt 2.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $3$ annähert.

$- (lim_{x \to 3} 2 x - lim_{x \to 3} 1) \cdot lim_{x \to 3} \frac{2 \sqrt{5 x + 1}}{5}$

Schritt 2.4

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$- (2 lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 1) \cdot lim_{x \to 3} \frac{2 \sqrt{5 x + 1}}{5}$

Schritt 2.5

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $3$ annähert.

$- (2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 1) \cdot lim_{x \to 3} \frac{2 \sqrt{5 x + 1}}{5}$

Schritt 2.6

Ziehe den Term $\frac{2}{5}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$- (2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 1) \cdot \frac{2}{5} lim_{x \to 3} \sqrt{5 x + 1}$

Schritt 2.7

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$- (2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 1) \cdot \frac{2}{5} \sqrt{lim_{x \to 3} 5 x + 1}$

Schritt 2.8

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $3$ annähert.

$- (2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 1) \cdot \frac{2}{5} \sqrt{lim_{x \to 3} 5 x + lim_{x \to 3} 1}$

Schritt 2.9

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$- (2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 1) \cdot \frac{2}{5} \sqrt{5 lim_{x \to 3} x + lim_{x \to 3} 1}$

Schritt 2.10

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $3$ annähert.

$- (2 lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 1) \cdot \frac{2}{5} \sqrt{5 lim_{x \to 3} x + 1}$

Schritt 3

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $3$ für alle $x$ .

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $3$ für $x$ .

$- (2 \cdot 3 - 1 \cdot 1) \cdot \frac{2}{5} \sqrt{5 lim_{x \to 3} x + 1}$

Schritt 3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $3$ für $x$ .

$- (2 \cdot 3 - 1 \cdot 1) \cdot \frac{2}{5} \sqrt{5 \cdot 3 + 1}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$- (6 - 1 \cdot 1) \cdot \frac{2}{5} \sqrt{5 \cdot 3 + 1}$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- (6 - 1) \cdot \frac{2}{5} \sqrt{5 \cdot 3 + 1}$

Schritt 4.2

Subtrahiere $1$ von $6$ .

$- 1 \cdot 5 \cdot \frac{2}{5} \sqrt{5 \cdot 3 + 1}$

Schritt 4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 4.3.1

Faktorisiere $5$ aus $- 1 \cdot 5$ heraus.

$5 \cdot - 1 \cdot \frac{2}{5} \sqrt{5 \cdot 3 + 1}$

Schritt 4.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 \cdot - 1 \cdot \frac{2}{5} \sqrt{5 \cdot 3 + 1}$

Schritt 4.3.3

Forme den Ausdruck um.

$- 1 \cdot 2 \sqrt{5 \cdot 3 + 1}$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 \sqrt{5 \cdot 3 + 1}$

Schritt 4.5

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$- 2 \sqrt{15 + 1}$

Schritt 4.6

Addiere $15$ und $1$ .

$- 2 \sqrt{16}$

Schritt 4.7

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$- 2 \sqrt{4^{2}}$

Schritt 4.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$- 2 \cdot 4$

Schritt 4.9

Mutltipliziere $- 2$ mit $4$ .

$- 8$