Analysis Beispiele

$f (x) = x^{3} - x^{2} + 5$ , $a = - 2$

Schritt 1

Betrachte die Funktion, die verwendet wird, um die Linearisierung bei $a$ zu bestimmen.

$L (x) = f (a) + f' (a) (x - a)$

Schritt 2

Setze den Wert von $a = - 2$ in die Linearisierungsfunktion ein.

$L (x) = f (- 2) + f' (- 2) (x - - 2)$

Schritt 3

Berechne $f (- 2)$ .

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f (- 2) = {(- 2)}^{3} - {(- 2)}^{2} + 5$

Schritt 3.2

Vereinfache ${(- 2)}^{3} - {(- 2)}^{2} + 5$ .

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Schritt 3.2.1

Entferne die Klammern.

${(- 2)}^{3} - {(- 2)}^{2} + 5$

Schritt 3.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.2.1

Potenziere $- 2$ mit $3$ .

$- 8 - {(- 2)}^{2} + 5$

Schritt 3.2.2.2

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$- 8 - 1 \cdot 4 + 5$

Schritt 3.2.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$- 8 - 4 + 5$

Schritt 3.2.3

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 3.2.3.1

Subtrahiere $4$ von $- 8$ .

$- 12 + 5$

Schritt 3.2.3.2

Addiere $- 12$ und $5$ .

$- 7$

Schritt 4

Bestimme die Ableitung und berechne sie bei $- 2$ .

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Schritt 4.1

Ermittele die Ableitung von $f (x) = x^{3} - x^{2} + 5$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere.

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Schritt 4.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} - x^{2} + 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 4.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 4.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Schritt 4.1.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 4.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 x^{2} - (2 x) + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 4.1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$3 x^{2} - 2 x + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 4.1.3.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 x^{2} - 2 x + 0$

Schritt 4.1.3.2

Addiere $3 x^{2} - 2 x$ und $0$ .

$3 x^{2} - 2 x$

Schritt 4.2

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$3 {(- 2)}^{2} - 2 \cdot - 2$

Schritt 4.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$3 \cdot 4 - 2 \cdot - 2$

Schritt 4.3.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$12 - 2 \cdot - 2$

Schritt 4.3.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$12 + 4$

Schritt 4.3.2

Addiere $12$ und $4$ .

$16$

Schritt 5

Setze die Komponenten in die Linearisierungsfunktion ein, um die Linearisierung bei $a$ zu ermitteln.

$L (x) = - 7 + 16 (x - - 2)$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$L (x) = - 7 + 16 x + 16 \cdot 2$

Schritt 6.1.2

Mutltipliziere $16$ mit $2$ .

$L (x) = - 7 + 16 x + 32$

Schritt 6.2

Addiere $- 7$ und $32$ .

$L (x) = 16 x + 25$

Schritt 7