Analysis Beispiele

$y = (2 x + 5) \sqrt{4 x - 1}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{4 x - 1}$ als ${(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [(2 x + 5) {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = 2 x + 5$ und $g (x) = {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$(2 x + 5) \frac{d}{d x} [{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}] + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 4 x - 1$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $4 x - 1$ .

$(2 x + 5) (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [4 x - 1]) + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$(2 x + 5) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x - 1]) + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u$ durch $4 x - 1$ .

$(2 x + 5) (\frac{1}{2} {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x - 1]) + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$

Schritt 4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$(2 x + 5) (\frac{1}{2} {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]) + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$

Schritt 5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$(2 x + 5) (\frac{1}{2} {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]) + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$

Schritt 6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$(2 x + 5) (\frac{1}{2} {(4 x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]) + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$

Schritt 7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$(2 x + 5) (\frac{1}{2} {(4 x - 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]) + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$

Schritt 7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$(2 x + 5) (\frac{1}{2} {(4 x - 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]) + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$

Schritt 8

Kombiniere Brüche.

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Schritt 8.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$(2 x + 5) (\frac{1}{2} {(4 x - 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]) + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$

Schritt 8.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(4 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$(2 x + 5) (\frac{{(4 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 x - 1]) + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$

Schritt 8.3

Bringe ${(4 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(2 x + 5) (\frac{1}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]) + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$

Schritt 9

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$(2 x + 5) \frac{1}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$

Schritt 10

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(2 x + 5) \frac{1}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$

Schritt 11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(2 x + 5) \frac{1}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$

Schritt 12

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$(2 x + 5) \frac{1}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (4 + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$

Schritt 13

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(2 x + 5) \frac{1}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (4 + 0) + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$

Schritt 14

Vereinfache Terme.

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Schritt 14.1

Addiere $4$ und $0$ .

$(2 x + 5) \frac{1}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 4 + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$

Schritt 14.2

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$(2 x + 5) \frac{4}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$

Schritt 14.3

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$(2 x + 5) \frac{2 \cdot 2}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$

Schritt 15

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 15.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$(2 x + 5) \frac{2 \cdot 2}{2 ({(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}})} + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$

Schritt 15.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(2 x + 5) \frac{2 \cdot 2}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$

Schritt 15.3

Forme den Ausdruck um.

$(2 x + 5) \frac{2}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$

Schritt 16

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x + 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$(2 x + 5) \frac{2}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5])$

Schritt 17

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(2 x + 5) \frac{2}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Schritt 18

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(2 x + 5) \frac{2}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])$

Schritt 19

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$(2 x + 5) \frac{2}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (2 + \frac{d}{d x} [5])$

Schritt 20

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(2 x + 5) \frac{2}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (2 + 0)$

Schritt 21

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 21.1

Addiere $2$ und $0$ .

$(2 x + 5) \frac{2}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2$

Schritt 21.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$(2 x + 5) \frac{2}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 22

Vereinfache.

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Schritt 22.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 22.1.1

Mutltipliziere $2 x + 5$ mit $\frac{2}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{(2 x + 5) \cdot 2}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + 2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 22.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $2 x + 5$ .

$\frac{2 (2 x + 5)}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + 2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 22.2

Um $2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 (2 x + 5)}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 22.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 (2 x + 5) + 2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 22.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 22.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 x + 5) + 2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

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Schritt 22.4.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{2 (2 x + 5) + 2 ({(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 22.4.1.2

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 x + 5) + 2 ({(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}})$ heraus.

$\frac{2 (2 x + 5 + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 22.4.2

Multipliziere ${(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ mit ${(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 22.4.2.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 (2 x + 5 + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}})}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 22.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 (2 x + 5 + {(4 x - 1)}^{\frac{1 + 1}{2}})}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 22.4.2.3

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2 (2 x + 5 + {(4 x - 1)}^{\frac{2}{2}})}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 22.4.2.4

Dividiere $2$ durch $2$ .

$\frac{2 (2 x + 5 + {(4 x - 1)}^{1})}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 22.4.3

Vereinfache ${(4 x - 1)}^{1}$ .

$\frac{2 (2 x + 5 + 4 x - 1)}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 22.4.4

Addiere $2 x$ und $4 x$ .

$\frac{2 (6 x + 5 - 1)}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 22.4.5

Subtrahiere $1$ von $5$ .

$\frac{2 (6 x + 4)}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 22.4.6

Faktorisiere $2$ aus $6 x + 4$ heraus.

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Schritt 22.4.6.1

Faktorisiere $2$ aus $6 x$ heraus.

$\frac{2 (2 (3 x) + 4)}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 22.4.6.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 (2 (3 x) + 2 (2))}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 22.4.6.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (3 x) + 2 (2)$ heraus.

$\frac{2 (2 (3 x + 2))}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

$\frac{2 \cdot 2 (3 x + 2)}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 22.4.7

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{4 (3 x + 2)}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$