Analysis Beispiele

$f (x) = x^{3} - x^{2} + 5$ , $a = - 3$

Schritt 1

Betrachte die Funktion, die verwendet wird, um die Linearisierung bei $a$ zu bestimmen.

$L (x) = f (a) + f' (a) (x - a)$

Schritt 2

Setze den Wert von $a = - 3$ in die Linearisierungsfunktion ein.

$L (x) = f (- 3) + f' (- 3) (x - - 3)$

Schritt 3

Berechne $f (- 3)$ .

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 3$ .

$f (- 3) = {(- 3)}^{3} - {(- 3)}^{2} + 5$

Schritt 3.2

Vereinfache ${(- 3)}^{3} - {(- 3)}^{2} + 5$ .

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Schritt 3.2.1

Entferne die Klammern.

${(- 3)}^{3} - {(- 3)}^{2} + 5$

Schritt 3.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.2.1

Potenziere $- 3$ mit $3$ .

$- 27 - {(- 3)}^{2} + 5$

Schritt 3.2.2.2

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$- 27 - 1 \cdot 9 + 5$

Schritt 3.2.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$- 27 - 9 + 5$

Schritt 3.2.3

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 3.2.3.1

Subtrahiere $9$ von $- 27$ .

$- 36 + 5$

Schritt 3.2.3.2

Addiere $- 36$ und $5$ .

$- 31$

Schritt 4

Bestimme die Ableitung und berechne sie bei $- 3$ .

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Schritt 4.1

Ermittele die Ableitung von $f (x) = x^{3} - x^{2} + 5$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere.

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Schritt 4.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} - x^{2} + 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 4.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 4.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Schritt 4.1.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 4.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 x^{2} - (2 x) + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 4.1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$3 x^{2} - 2 x + \frac{d}{d x} [5]$

Schritt 4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 4.1.3.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 x^{2} - 2 x + 0$

Schritt 4.1.3.2

Addiere $3 x^{2} - 2 x$ und $0$ .

$3 x^{2} - 2 x$

Schritt 4.2

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 3$ .

$3 {(- 3)}^{2} - 2 \cdot - 3$

Schritt 4.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.1.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$3 \cdot 9 - 2 \cdot - 3$

Schritt 4.3.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $9$ .

$27 - 2 \cdot - 3$

Schritt 4.3.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 3$ .

$27 + 6$

Schritt 4.3.2

Addiere $27$ und $6$ .

$33$

Schritt 5

Setze die Komponenten in die Linearisierungsfunktion ein, um die Linearisierung bei $a$ zu ermitteln.

$L (x) = - 31 + 33 (x - - 3)$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$L (x) = - 31 + 33 x + 33 \cdot 3$

Schritt 6.1.2

Mutltipliziere $33$ mit $3$ .

$L (x) = - 31 + 33 x + 99$

Schritt 6.2

Addiere $- 31$ und $99$ .

$L (x) = 33 x + 68$

Schritt 7