Analysis Beispiele

$f (x) = 2 x^{2} - x^{4}$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x^{2} - x^{4}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{2}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{4}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$4 x - \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 x - (4 x^{3})$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$4 x - 4 x^{3}$

Schritt 1.4

Stelle die Terme um.

$- 4 x^{3} + 4 x$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 4 x^{3} + 4 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (4 x)$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x^{3}$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (4 x)$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f'' (x) = - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x)$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 4$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (4 x)$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 4 \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 4 \cdot 1$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 4$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$- 4 x^{3} + 4 x = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x^{2} - x^{4}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x^{4})$

Schritt 4.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Schritt 4.1.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{2}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x^{4})$

Schritt 4.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = 2 (2 x) + \frac{d}{d x} (- x^{4})$

Schritt 4.1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f' (x) = 4 x + \frac{d}{d x} (- x^{4})$

Schritt 4.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

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Schritt 4.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{4}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 4 x - \frac{d}{d x} x^{4}$

Schritt 4.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x - (4 x^{3})$

Schritt 4.1.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$f' (x) = 4 x - 4 x^{3}$

Schritt 4.1.4

Stelle die Terme um.

$f' (x) = - 4 x^{3} + 4 x$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- 4 x^{3} + 4 x$ .

$- 4 x^{3} + 4 x$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- 4 x^{3} + 4 x = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- 4 x^{3} + 4 x = 0$

Schritt 5.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $- 4 x$ aus $- 4 x^{3} + 4 x$ heraus.

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Schritt 5.2.1.1

Faktorisiere $- 4 x$ aus $- 4 x^{3}$ heraus.

$- 4 x \cdot x^{2} + 4 x = 0$

Schritt 5.2.1.2

Faktorisiere $- 4 x$ aus $4 x$ heraus.

$- 4 x \cdot x^{2} - 4 x \cdot - 1 = 0$

Schritt 5.2.1.3

Faktorisiere $- 4 x$ aus $- 4 x (x^{2}) - 4 x (- 1)$ heraus.

$- 4 x (x^{2} - 1) = 0$

Schritt 5.2.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$- 4 x (x^{2} - 1^{2}) = 0$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere.

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Schritt 5.2.3.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$- 4 x ((x + 1) (x - 1)) = 0$

Schritt 5.2.3.2

Entferne unnötige Klammern.

$- 4 x (x + 1) (x - 1) = 0$

Schritt 5.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Schritt 5.4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 5.5

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.5.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 5.5.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 5.6

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.6.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 5.6.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 5.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- 4 x (x + 1) (x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = 0, - 1, 1$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 0, - 1, 1$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 0$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- 12 {(0)}^{2} + 4$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- 12 \cdot 0 + 4$

Schritt 9.1.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $0$ .

$0 + 4$

Schritt 9.2

Addiere $0$ und $4$ .

$4$

Schritt 10

$x = 0$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 0$ ist ein lokales Minimum

Schritt 11

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 0$ .

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Schritt 11.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = 2 {(0)}^{2} - {(0)}^{4}$

Schritt 11.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 11.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = 2 \cdot 0 - {(0)}^{4}$

Schritt 11.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$f (0) = 0 - {(0)}^{4}$

Schritt 11.2.1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = 0 - 0$

Schritt 11.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Schritt 11.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$f (0) = 0$

Schritt 11.2.3

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$y = 0$

Schritt 12

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = - 1$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- 12 {(- 1)}^{2} + 4$

Schritt 13

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 13.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 13.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$- 12 \cdot 1 + 4$

Schritt 13.1.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $1$ .

$- 12 + 4$

Schritt 13.2

Addiere $- 12$ und $4$ .

$- 8$

Schritt 14

$x = - 1$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = - 1$ ist ein lokales Maximum

Schritt 15

Ermittele den y-Wert, wenn $x = - 1$ .

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Schritt 15.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 1$ .

$f (- 1) = 2 {(- 1)}^{2} - {(- 1)}^{4}$

Schritt 15.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 15.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.2.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- 1) = 2 \cdot 1 - {(- 1)}^{4}$

Schritt 15.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f (- 1) = 2 - {(- 1)}^{4}$

Schritt 15.2.1.3

Multipliziere $- 1$ mit ${(- 1)}^{4}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 15.2.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit ${(- 1)}^{4}$ .

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Schritt 15.2.1.3.1.1

Potenziere $- 1$ mit $1$ .

$f (- 1) = 2 + (- 1) {(- 1)}^{4}$

Schritt 15.2.1.3.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (- 1) = 2 + {(- 1)}^{1 + 4}$

Schritt 15.2.1.3.2

Addiere $1$ und $4$ .

$f (- 1) = 2 + {(- 1)}^{5}$

Schritt 15.2.1.4

Potenziere $- 1$ mit $5$ .

$f (- 1) = 2 - 1$

Schritt 15.2.2

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$f (- 1) = 1$

Schritt 15.2.3

Die endgültige Lösung ist $1$ .

$y = 1$

Schritt 16

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 1$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$- 12 {(1)}^{2} + 4$

Schritt 17

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 17.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 17.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- 12 \cdot 1 + 4$

Schritt 17.1.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $1$ .

$- 12 + 4$

Schritt 17.2

Addiere $- 12$ und $4$ .

$- 8$

Schritt 18

$x = 1$ ist ein lokales Maximum, weil der Wert der zweiten Ableitung negativ ist. Dies wird auch Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 1$ ist ein lokales Maximum

Schritt 19

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 1$ .

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Schritt 19.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = 2 {(1)}^{2} - {(1)}^{4}$

Schritt 19.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 19.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 19.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1) = 2 \cdot 1 - {(1)}^{4}$

Schritt 19.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f (1) = 2 - {(1)}^{4}$

Schritt 19.2.1.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (1) = 2 - 1 \cdot 1$

Schritt 19.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (1) = 2 - 1$

Schritt 19.2.2

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$f (1) = 1$

Schritt 19.2.3

Die endgültige Lösung ist $1$ .

$y = 1$

Schritt 20

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = 2 x^{2} - x^{4}$ .

$(0, 0)$ ist ein lokales Minimum

$(- 1, 1)$ ist ein lokales Maximum

$(1, 1)$ ist ein lokales Maximum

Schritt 21