Analysis Beispiele

$y^{3} + y^{2} - 5 y - x^{2} = - 4$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d y} (y^{3} + y^{2} - 5 y - x^{2}) = \frac{d}{d y} (- 4)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y^{3} + y^{2} - 5 y - x^{2}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 5 y] + \frac{d}{d y} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 5 y] + \frac{d}{d y} [- x^{2}]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 y^{2} + \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 5 y] + \frac{d}{d y} [- x^{2}]$

Schritt 2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 y^{2} + 2 y + \frac{d}{d y} [- 5 y] + \frac{d}{d y} [- x^{2}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d y} [- 5 y]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 5$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 5 y$ nach $y$ gleich $- 5 \frac{d}{d y} [y]$ .

$3 y^{2} + 2 y - 5 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x^{2}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 y^{2} + 2 y - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- x^{2}]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $1$ .

$3 y^{2} + 2 y - 5 + \frac{d}{d y} [- x^{2}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d y} [- x^{2}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $y$ gleich $- \frac{d}{d y} [x^{2}]$ .

$3 y^{2} + 2 y - 5 - \frac{d}{d y} [x^{2}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = y^{2}$ und $g (y) = x$ .

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Schritt 2.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x$ .

$3 y^{2} + 2 y - 5 - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d y} [x])$

Schritt 2.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 y^{2} + 2 y - 5 - (2 u \frac{d}{d y} [x])$

Schritt 2.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$3 y^{2} + 2 y - 5 - (2 x \frac{d}{d y} [x])$

Schritt 2.3.3

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$3 y^{2} + 2 y - 5 - (2 x x')$

Schritt 2.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$3 y^{2} + 2 y - 5 - 2 x x'$

Schritt 2.4

Stelle die Terme um.

$3 y^{2} - 2 x x' + 2 y - 5$

Schritt 3

Da $- 4$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$3 y^{2} - 2 x x' + 2 y - 5 = 0$

Schritt 5

Löse nach $x'$ auf.

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Schritt 5.1

Bringe alle Terme, die nicht $x'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1.1

Subtrahiere $3 y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 x x' + 2 y - 5 = - 3 y^{2}$

Schritt 5.1.2

Subtrahiere $2 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 x x' - 5 = - 3 y^{2} - 2 y$

Schritt 5.1.3

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 x x' = - 3 y^{2} - 2 y + 5$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x x' = - 3 y^{2} - 2 y + 5$ durch $- 2 x$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x x' = - 3 y^{2} - 2 y + 5$ durch $- 2 x$ .

$\frac{- 2 x x'}{- 2 x} = \frac{- 3 y^{2}}{- 2 x} + \frac{- 2 y}{- 2 x} + \frac{5}{- 2 x}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 x x'}{- 2 x} = \frac{- 3 y^{2}}{- 2 x} + \frac{- 2 y}{- 2 x} + \frac{5}{- 2 x}$

Schritt 5.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x x'}{x} = \frac{- 3 y^{2}}{- 2 x} + \frac{- 2 y}{- 2 x} + \frac{5}{- 2 x}$

Schritt 5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x x'}{x} = \frac{- 3 y^{2}}{- 2 x} + \frac{- 2 y}{- 2 x} + \frac{5}{- 2 x}$

Schritt 5.2.2.2.2

Dividiere $x'$ durch $1$ .

$x' = \frac{- 3 y^{2}}{- 2 x} + \frac{- 2 y}{- 2 x} + \frac{5}{- 2 x}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x' = \frac{3 y^{2}}{2 x} + \frac{- 2 y}{- 2 x} + \frac{5}{- 2 x}$

Schritt 5.2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 5.2.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x' = \frac{3 y^{2}}{2 x} + \frac{- 2 y}{- 2 x} + \frac{5}{- 2 x}$

Schritt 5.2.3.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x' = \frac{3 y^{2}}{2 x} + \frac{y}{x} + \frac{5}{- 2 x}$

Schritt 5.2.3.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x' = \frac{3 y^{2}}{2 x} + \frac{y}{x} - \frac{5}{2 x}$

Schritt 6

Ersetze $x'$ durch $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{3 y^{2}}{2 x} + \frac{y}{x} - \frac{5}{2 x}$