Analysis Beispiele

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} (- 2 \sec^{2} (x) - 5 \cos (x)) d x$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} - 2 \sec^{2} (x) - 5 \cos (x) d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} - 2 \sec^{2} (x) d x + \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} - 5 \cos (x) d x$

Schritt 3

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$- 2 \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \sec^{2} (x) d x + \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} - 5 \cos (x) d x$

Schritt 4

Da die Ableitung von $\tan (x)$ gleich $\sec^{2} (x)$ ist, ist das Integral von $\sec^{2} (x)$ gleich $\tan (x)$ .

$- 2 (\tan (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}}) + \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} - 5 \cos (x) d x$

Schritt 5

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 5$ aus dem Integral.

$- 2 (\tan (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}}) - 5 \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \cos (x) d x$

Schritt 6

Das Integral von $\cos (x)$ nach $x$ ist $\sin (x)$ .

$- 2 (\tan (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}}) - 5 (\sin (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}})$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 7.1.1

Berechne $\tan (x)$ bei $\frac{π}{3}$ und $\frac{π}{4}$ .

$- 2 ((\tan (\frac{π}{3})) - \tan (\frac{π}{4})) - 5 (\sin (x)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}})$

Schritt 7.1.2

Berechne $\sin (x)$ bei $\frac{π}{3}$ und $\frac{π}{4}$ .

$- 2 (\tan (\frac{π}{3}) - \tan (\frac{π}{4})) - 5 (\sin (\frac{π}{3}) - \sin (\frac{π}{4}))$

Schritt 7.2

Vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{3})$ ist $\sqrt{3}$ .

$- 2 (\sqrt{3} - \tan (\frac{π}{4})) - 5 (\sin (\frac{π}{3}) - \sin (\frac{π}{4}))$

Schritt 7.2.2

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{4})$ ist $1$ .

$- 2 (\sqrt{3} - 1 \cdot 1) - 5 (\sin (\frac{π}{3}) - \sin (\frac{π}{4}))$

Schritt 7.2.3

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{3})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 2 (\sqrt{3} - 1 \cdot 1) - 5 (\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin (\frac{π}{4}))$

Schritt 7.2.4

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 2 (\sqrt{3} - 1 \cdot 1) - 5 (\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 7.2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 2 (\sqrt{3} - 1) - 5 (\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 7.3

Vereinfache.

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Schritt 7.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 2 \sqrt{3} - 2 \cdot - 1 - 5 (\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 7.3.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$- 2 \sqrt{3} + 2 - 5 (\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 7.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- 2 \sqrt{3} + 2 - 5 \frac{\sqrt{3}}{2} - 5 (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 7.3.4

Kombiniere $- 5$ und $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 2 \sqrt{3} + 2 + \frac{- 5 \sqrt{3}}{2} - 5 (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 7.3.5

Multipliziere $- 5 (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

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Schritt 7.3.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 5$ .

$- 2 \sqrt{3} + 2 + \frac{- 5 \sqrt{3}}{2} + 5 \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 7.3.5.2

Kombiniere $5$ und $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 2 \sqrt{3} + 2 + \frac{- 5 \sqrt{3}}{2} + \frac{5 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 7.3.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- 2 \sqrt{3} + 2 - \frac{5 \sqrt{3}}{2} + \frac{5 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 7.3.7

Um $- 2 \sqrt{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- 2 \sqrt{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{5 \sqrt{3}}{2} + 2 + \frac{5 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 7.3.8

Kombiniere $- 2 \sqrt{3}$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{3} \cdot 2}{2} - \frac{5 \sqrt{3}}{2} + 2 + \frac{5 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 7.3.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 2 \sqrt{3} \cdot 2 - 5 \sqrt{3}}{2} + 2 + \frac{5 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 7.3.10

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{3} \cdot 2 - 5 \sqrt{3}}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{5 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 7.3.11

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{3} \cdot 2 - 5 \sqrt{3}}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{5 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 7.3.12

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 2 \sqrt{3} \cdot 2 - 5 \sqrt{3} + 2 \cdot 2}{2} + \frac{5 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 7.3.13

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 2 \sqrt{3} \cdot 2 - 5 \sqrt{3} + 2 \cdot 2 + 5 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 7.3.14

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$\frac{- 4 \sqrt{3} - 5 \sqrt{3} + 2 \cdot 2 + 5 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 7.3.15

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{- 4 \sqrt{3} - 5 \sqrt{3} + 4 + 5 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 7.3.16

Subtrahiere $5 \sqrt{3}$ von $- 4 \sqrt{3}$ .

$\frac{- 9 \sqrt{3} + 4 + 5 \sqrt{2}}{2}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{- 9 \sqrt{3} + 4 + 5 \sqrt{2}}{2}$

Dezimalform:

$- 2.25869472 \dots$