Analysis Beispiele

$\int (- x^{5} + 6 e^{- 2 x}) d x$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$\int - x^{5} + 6 e^{- 2 x} d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int - x^{5} d x + \int 6 e^{- 2 x} d x$

Schritt 3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int x^{5} d x + \int 6 e^{- 2 x} d x$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{5}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$- (\frac{1}{6} x^{6} + C) + \int 6 e^{- 2 x} d x$

Schritt 5

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $6$ aus dem Integral.

$- (\frac{1}{6} x^{6} + C) + 6 \int e^{- 2 x} d x$

Schritt 6

Sei $u = - 2 x$ . Dann ist $d u = - 2 d x$ , folglich $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 6.1

Es sei $u = - 2 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 6.1.1

Differenziere $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Schritt 6.1.2

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 6.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Schritt 6.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$- 2$

Schritt 6.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$- (\frac{1}{6} x^{6} + C) + 6 \int e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Kombiniere $\frac{1}{6}$ und $x^{6}$ .

$- (\frac{x^{6}}{6} + C) + 6 \int e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Schritt 7.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- (\frac{x^{6}}{6} + C) + 6 \int e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Schritt 7.3

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{2}$ .

$- (\frac{x^{6}}{6} + C) + 6 \int - \frac{e^{u}}{2} d u$

Schritt 8

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- (\frac{x^{6}}{6} + C) + 6 (- \int \frac{e^{u}}{2} d u)$

Schritt 9

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$- (\frac{x^{6}}{6} + C) - 6 \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Schritt 10

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$- (\frac{x^{6}}{6} + C) - 6 (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 6$ .

$- (\frac{x^{6}}{6} + C) + \frac{- 6}{2} \int e^{u} d u$

Schritt 11.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 6$ und $2$ .

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Schritt 11.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 6$ heraus.

$- (\frac{x^{6}}{6} + C) + \frac{2 \cdot - 3}{2} \int e^{u} d u$

Schritt 11.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$- (\frac{x^{6}}{6} + C) + \frac{2 \cdot - 3}{2 (1)} \int e^{u} d u$

Schritt 11.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- (\frac{x^{6}}{6} + C) + \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1} \int e^{u} d u$

Schritt 11.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- (\frac{x^{6}}{6} + C) + \frac{- 3}{1} \int e^{u} d u$

Schritt 11.2.2.4

Dividiere $- 3$ durch $1$ .

$- (\frac{x^{6}}{6} + C) - 3 \int e^{u} d u$

Schritt 12

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$- (\frac{x^{6}}{6} + C) - 3 (e^{u} + C)$

Schritt 13

Vereinfache.

$- \frac{1}{6} x^{6} - 3 e^{u} + C$

Schritt 14

Ersetze alle $u$ durch $- 2 x$ .

$- \frac{1}{6} x^{6} - 3 e^{- 2 x} + C$