Analysis Beispiele

$\int {(3 x^{2} - 4 x + 2)}^{4} (3 x - 2) d x$

Schritt 1

Sei $u = 3 x^{2} - 4 x + 2$ . Dann ist $d u = (6 x - 4) d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = (3 x - 2) d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Es sei $u = 3 x^{2} - 4 x + 2$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Differenziere $3 x^{2} - 4 x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} - 4 x + 2]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{2} - 4 x + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.4.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$6 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.1.4.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$6 x - 4 + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 1.1.5

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.5.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$6 x - 4 + 0$

Schritt 1.1.5.2

Addiere $6 x - 4$ und $0$ .

$6 x - 4$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int u^{4} \frac{1}{2} d u$

Schritt 2

Kombiniere $u^{4}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{u^{4}}{2} d u$

Schritt 3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int u^{4} d u$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{4}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{5} u^{5} + C)$

Schritt 5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Schreibe $\frac{1}{2} (\frac{1}{5} u^{5} + C)$ als $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} u^{5} + C$ um.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} u^{5} + C$

Schritt 5.2

Schreibe $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} u^{5} + C$ als $\frac{1}{10} u^{5} + C$ um.

$\frac{1}{10} u^{5} + C$

Schritt 6

Ersetze alle $u$ durch $3 x^{2} - 4 x + 2$ .

$\frac{1}{10} {(3 x^{2} - 4 x + 2)}^{5} + C$