Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{3^{x} - 3^{- x}}{3^{x} + 3^{- x}}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} 3^{x} - 3^{- x}}{lim_{x \to 0} 3^{x} + 3^{- x}}$

Schritt 2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} 3^{x} - lim_{x \to 0} 3^{- x}}{lim_{x \to 0} 3^{x} + 3^{- x}}$

Schritt 3

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{3^{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 3^{- x}}{lim_{x \to 0} 3^{x} + 3^{- x}}$

Schritt 4

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{3^{lim_{x \to 0} x} - 3^{lim_{x \to 0} - x}}{lim_{x \to 0} 3^{x} + 3^{- x}}$

Schritt 5

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{3^{lim_{x \to 0} x} - 3^{- lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} 3^{x} + 3^{- x}}$

Schritt 6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{3^{lim_{x \to 0} x} - 3^{- lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} 3^{x} + lim_{x \to 0} 3^{- x}}$

Schritt 7

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{3^{lim_{x \to 0} x} - 3^{- lim_{x \to 0} x}}{3^{lim_{x \to 0} x} + lim_{x \to 0} 3^{- x}}$

Schritt 8

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{3^{lim_{x \to 0} x} - 3^{- lim_{x \to 0} x}}{3^{lim_{x \to 0} x} + 3^{lim_{x \to 0} - x}}$

Schritt 9

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{3^{lim_{x \to 0} x} - 3^{- lim_{x \to 0} x}}{3^{lim_{x \to 0} x} + 3^{- lim_{x \to 0} x}}$

Schritt 10

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 10.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{3^{0} - 3^{- lim_{x \to 0} x}}{3^{lim_{x \to 0} x} + 3^{- lim_{x \to 0} x}}$

Schritt 10.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{3^{0} - 3^{0}}{3^{lim_{x \to 0} x} + 3^{- lim_{x \to 0} x}}$

Schritt 10.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{3^{0} - 3^{0}}{3^{0} + 3^{- lim_{x \to 0} x}}$

Schritt 10.4

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{3^{0} - 3^{0}}{3^{0} + 3^{0}}$

Schritt 11

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 11.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.1.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{1 - 3^{0}}{3^{0} + 3^{0}}$

Schritt 11.1.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{3^{0} + 3^{0}}$

Schritt 11.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1 - 1}{3^{0} + 3^{0}}$

Schritt 11.1.4

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{3^{0} + 3^{0}}$

Schritt 11.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 11.2.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{0}{1 + 3^{0}}$

Schritt 11.2.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{0}{1 + 1}$

Schritt 11.2.3

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{0}{2}$

Schritt 11.3

Dividiere $0$ durch $2$ .

$0$