Analysis Beispiele

$y = x^{\ln (x)}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (x^{\ln (x)})$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere mit Hilfe der Potenzregel, welche besagt, dass $\frac{d}{d y} [f^{g}]$ gleich $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ ist, wobei $f = x$ und $g = \ln (x)$ ist.

$\frac{d}{d y} [x] (\ln (x) x^{\ln (x) - 1}) + \frac{d}{d y} [\ln (x)] (x^{\ln (x)} \ln (x))$

Schritt 3.2

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$x' (\ln (x) x^{\ln (x) - 1}) + \frac{d}{d y} [\ln (x)] (x^{\ln (x)} \ln (x))$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = \ln (y)$ und $g (y) = x$ .

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Schritt 3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x$ .

$x' (\ln (x) x^{\ln (x) - 1}) + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d y} [x] (x^{\ln (x)} \ln (x))$

Schritt 3.3.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$x' (\ln (x) x^{\ln (x) - 1}) + \frac{1}{u} \frac{d}{d y} [x] (x^{\ln (x)} \ln (x))$

Schritt 3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$x' (\ln (x) x^{\ln (x) - 1}) + \frac{1}{x} \frac{d}{d y} [x] (x^{\ln (x)} \ln (x))$

Schritt 3.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.4.1

Kombiniere $x^{\ln (x)}$ und $\frac{1}{x}$ .

$x' (\ln (x) x^{\ln (x) - 1}) + \frac{x^{\ln (x)}}{x} \frac{d}{d y} [x] \ln (x)$

Schritt 3.4.2

Kombiniere $\ln (x)$ und $\frac{x^{\ln (x)}}{x}$ .

$x' (\ln (x) x^{\ln (x) - 1}) + \frac{\ln (x) x^{\ln (x)}}{x} \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 3.4.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{\ln (x)}$ und $x$ .

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Schritt 3.4.3.1

Faktorisiere $x$ aus $\ln (x) x^{\ln (x)}$ heraus.

$x' (\ln (x) x^{\ln (x) - 1}) + \frac{x (\ln (x) x^{\ln (x) - 1})}{x} \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 3.4.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.4.3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x' (\ln (x) x^{\ln (x) - 1}) + \frac{x (\ln (x) x^{\ln (x) - 1})}{x^{1}} \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 3.4.3.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$x' (\ln (x) x^{\ln (x) - 1}) + \frac{x (\ln (x) x^{\ln (x) - 1})}{x \cdot 1} \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 3.4.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x' (\ln (x) x^{\ln (x) - 1}) + \frac{x (\ln (x) x^{\ln (x) - 1})}{x \cdot 1} \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 3.4.3.2.4

Forme den Ausdruck um.

$x' (\ln (x) x^{\ln (x) - 1}) + \frac{\ln (x) x^{\ln (x) - 1}}{1} \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 3.4.3.2.5

Dividiere $\ln (x) x^{\ln (x) - 1}$ durch $1$ .

$x' (\ln (x) x^{\ln (x) - 1}) + \ln (x) x^{\ln (x) - 1} \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 3.5

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$x' (\ln (x) x^{\ln (x) - 1}) + \ln (x) x^{\ln (x) - 1} x'$

Schritt 3.6

Stelle die Faktoren von $x' (\ln (x) x^{\ln (x) - 1})$ um.

$x^{\ln (x) - 1} \ln (x) x' + \ln (x) x^{\ln (x) - 1} x'$

Schritt 3.7

Addiere $x^{\ln (x) - 1} \ln (x) x'$ und $\ln (x) x^{\ln (x) - 1} x'$ .

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Schritt 3.7.1

Stelle $\ln (x)$ und $x^{\ln (x) - 1}$ um.

$x^{\ln (x) - 1} \ln (x) x' + x^{\ln (x) - 1} \ln (x) x'$

Schritt 3.7.2

Addiere $x^{\ln (x) - 1} \ln (x) x'$ und $x^{\ln (x) - 1} \ln (x) x'$ .

$2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x) x'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$1 = 2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x) x'$

Schritt 5

Löse nach $x'$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x) x' = 1$ um.

$2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x) x' = 1$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x) x' = 1$ durch $2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x)$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x) x' = 1$ durch $2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x)$ .

$\frac{2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x) x'}{2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x)} = \frac{1}{2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x)}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x) x'}{2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x)} = \frac{1}{2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x)}$

Schritt 5.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{\ln (x) - 1} \ln (x) x'}{x^{\ln (x) - 1} \ln (x)} = \frac{1}{2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x)}$

Schritt 5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{\ln (x) - 1}$ .

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Schritt 5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{\ln (x) - 1} \ln (x) x'}{x^{\ln (x) - 1} \ln (x)} = \frac{1}{2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x)}$

Schritt 5.2.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\ln (x) x'}{\ln (x)} = \frac{1}{2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x)}$

Schritt 5.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (x)$ .

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Schritt 5.2.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\ln (x) x'}{\ln (x)} = \frac{1}{2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x)}$

Schritt 5.2.2.3.2

Dividiere $x'$ durch $1$ .

$x' = \frac{1}{2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x)}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Stelle die Faktoren in $\frac{1}{2 x^{\ln (x) - 1} \ln (x)}$ um.

$x' = \frac{1}{2 \ln (x) x^{\ln (x) - 1}}$

Schritt 6

Ersetze $x'$ durch $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{2 \ln (x) x^{\ln (x) - 1}}$