Analysis Beispiele

$y = {(\sqrt{x})}^{x}$

Schritt 1

Es gilt $y = f (x)$ , nimm the natürlichen Logarithmus auf beiden Seiten von $\ln (y) = \ln (f (x))$ .

$\ln (y) = \ln ({(\sqrt{x})}^{x})$

Schritt 2

Erweitere die rechte Seite.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\ln (y) = \ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{x})$

Schritt 2.2

Zerlege $\ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$\ln (y) = x \ln (x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 2.3

Zerlege $\ln (x^{\frac{1}{2}})$ durch Herausziehen von $\frac{1}{2}$ aus dem Logarithmus.

$\ln (y) = x (\frac{1}{2} \ln (x))$

Schritt 2.4

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x$ .

$\ln (y) = \frac{x}{2} \ln (x)$

Schritt 2.5

Kombiniere $\frac{x}{2}$ und $\ln (x)$ .

$\ln (y) = \frac{x \ln (x)}{2}$

Schritt 3

Differenziere den Ausdruck mit Hilfe der Kettenregel, unter Berücksichtigung, dass $y$ eine Funktion von $x$ ist.

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Schritt 3.1

Differenziere die linke Seite von $\ln (y)$ mit Hilfe der Kettenregel.

$\frac{y'}{y} = \frac{x \ln (x)}{2}$

Schritt 3.2

Differenziere die rechte Seite.

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Schritt 3.2.1

Differenziere $\frac{x \ln (x)}{2}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [\frac{x \ln (x)}{2}]$

Schritt 3.2.2

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x \ln (x)}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Schritt 3.2.3

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \ln (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.2.4

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 3.2.5.1

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.2.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.2.5.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} (1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.2.5.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} (1 + \ln (x) \cdot 1)$

Schritt 3.2.5.4

Mutltipliziere $\ln (x)$ mit $1$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} (1 + \ln (x))$

Schritt 3.2.6

Vereinfache.

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Schritt 3.2.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \ln (x)$

Schritt 3.2.6.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \ln (x)$

Schritt 3.2.6.3

Stelle die Terme um.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{2} \ln (x) + \frac{1}{2}$

Schritt 3.2.6.4

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\ln (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}$

Schritt 4

Isoliere $y'$ und ersetze die Originalfunktion für $y$ auf der rechten Seite.

$y' = (\frac{\ln (x)}{2} + \frac{1}{2}) {(\sqrt{x})}^{x}$

Schritt 5

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.1

Schreibe $\frac{\ln (x)}{2}$ als $\frac{1}{2} \ln (x)$ um.

$y' = (\frac{1}{2} \ln (x) + \frac{1}{2}) {(\sqrt{x})}^{x}$

Schritt 5.1.2

Vereinfache $\frac{1}{2} \ln (x)$ , indem du $\frac{1}{2}$ in den Logarithmus ziehst.

$y' = (\ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{2}) {(\sqrt{x})}^{x}$

Schritt 5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y' = \ln (x^{\frac{1}{2}}) {\sqrt{x}}^{x} + \frac{1}{2} {\sqrt{x}}^{x}$

Schritt 5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${\sqrt{x}}^{x}$ .

$y' = \ln (x^{\frac{1}{2}}) {\sqrt{x}}^{x} + \frac{{\sqrt{x}}^{x}}{2}$

Schritt 5.4

Stelle die Faktoren in $\ln (x^{\frac{1}{2}}) {\sqrt{x}}^{x} + \frac{{\sqrt{x}}^{x}}{2}$ um.

$y' = {\sqrt{x}}^{x} \ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{{\sqrt{x}}^{x}}{2}$