Grundlegende Mathematik Beispiele

$\frac{15 a^{3}}{a^{3} + 3 a^{2} - 9 a - 27} \cdot \frac{2 a^{2} + 13 a + 21}{10 a^{2} + 35}$

Schritt 1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.1

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.1.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{15 a^{3}}{(a^{3} + 3 a^{2}) - 9 a - 27} \cdot \frac{2 a^{2} + 13 a + 21}{10 a^{2} + 35}$

Schritt 1.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{15 a^{3}}{a^{2} (a + 3) - 9 (a + 3)} \cdot \frac{2 a^{2} + 13 a + 21}{10 a^{2} + 35}$

Schritt 1.2

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $a + 3$ .

$\frac{15 a^{3}}{(a + 3) (a^{2} - 9)} \cdot \frac{2 a^{2} + 13 a + 21}{10 a^{2} + 35}$

Schritt 1.3

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{15 a^{3}}{(a + 3) (a^{2} - 3^{2})} \cdot \frac{2 a^{2} + 13 a + 21}{10 a^{2} + 35}$

Schritt 1.4

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = a$ und $b = 3$ .

$\frac{15 a^{3}}{(a + 3) (a + 3) (a - 3)} \cdot \frac{2 a^{2} + 13 a + 21}{10 a^{2} + 35}$

Schritt 1.5

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 1.5.1

Potenziere $a + 3$ mit $1$ .

$\frac{15 a^{3}}{{(a + 3)}^{1} (a + 3) (a - 3)} \cdot \frac{2 a^{2} + 13 a + 21}{10 a^{2} + 35}$

Schritt 1.5.2

Potenziere $a + 3$ mit $1$ .

$\frac{15 a^{3}}{{(a + 3)}^{1} {(a + 3)}^{1} (a - 3)} \cdot \frac{2 a^{2} + 13 a + 21}{10 a^{2} + 35}$

Schritt 1.5.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{15 a^{3}}{{(a + 3)}^{1 + 1} (a - 3)} \cdot \frac{2 a^{2} + 13 a + 21}{10 a^{2} + 35}$

Schritt 1.5.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{15 a^{3}}{{(a + 3)}^{2} (a - 3)} \cdot \frac{2 a^{2} + 13 a + 21}{10 a^{2} + 35}$

Schritt 2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot 21 = 42$ und deren Summe gleich $b = 13$ ist.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $13$ aus $13 a$ heraus.

$\frac{15 a^{3}}{{(a + 3)}^{2} (a - 3)} \cdot \frac{2 a^{2} + 13 (a) + 21}{10 a^{2} + 35}$

Schritt 2.1.2

Schreibe $13$ um als $6$ plus $7$

$\frac{15 a^{3}}{{(a + 3)}^{2} (a - 3)} \cdot \frac{2 a^{2} + (6 + 7) a + 21}{10 a^{2} + 35}$

Schritt 2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{15 a^{3}}{{(a + 3)}^{2} (a - 3)} \cdot \frac{2 a^{2} + 6 a + 7 a + 21}{10 a^{2} + 35}$

Schritt 2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{15 a^{3}}{{(a + 3)}^{2} (a - 3)} \cdot \frac{(2 a^{2} + 6 a) + 7 a + 21}{10 a^{2} + 35}$

Schritt 2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{15 a^{3}}{{(a + 3)}^{2} (a - 3)} \cdot \frac{2 a (a + 3) + 7 (a + 3)}{10 a^{2} + 35}$

Schritt 2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $a + 3$ .

$\frac{15 a^{3}}{{(a + 3)}^{2} (a - 3)} \cdot \frac{(a + 3) (2 a + 7)}{10 a^{2} + 35}$

Schritt 3

Faktorisiere $5$ aus $10 a^{2} + 35$ heraus.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $5$ aus $10 a^{2}$ heraus.

$\frac{15 a^{3}}{{(a + 3)}^{2} (a - 3)} \cdot \frac{(a + 3) (2 a + 7)}{5 (2 a^{2}) + 35}$

Schritt 3.2

Faktorisiere $5$ aus $35$ heraus.

$\frac{15 a^{3}}{{(a + 3)}^{2} (a - 3)} \cdot \frac{(a + 3) (2 a + 7)}{5 (2 a^{2}) + 5 (7)}$

Schritt 3.3

Faktorisiere $5$ aus $5 (2 a^{2}) + 5 (7)$ heraus.

$\frac{15 a^{3}}{{(a + 3)}^{2} (a - 3)} \cdot \frac{(a + 3) (2 a + 7)}{5 (2 a^{2} + 7)}$

Schritt 4

Kombinieren.

$\frac{15 a^{3} ((a + 3) (2 a + 7))}{{(a + 3)}^{2} (a - 3) (5 (2 a^{2} + 7))}$

Schritt 5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $15$ und $5$ .

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Schritt 5.1

Faktorisiere $5$ aus $15 a^{3} ((a + 3) (2 a + 7))$ heraus.

$\frac{5 (3 a^{3} ((a + 3) (2 a + 7)))}{{(a + 3)}^{2} (a - 3) (5 (2 a^{2} + 7))}$

Schritt 5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $5$ aus ${(a + 3)}^{2} (a - 3) (5 (2 a^{2} + 7))$ heraus.

$\frac{5 (3 a^{3} ((a + 3) (2 a + 7)))}{5 ({(a + 3)}^{2} (a - 3) (2 a^{2} + 7))}$

Schritt 5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 (3 a^{3} ((a + 3) (2 a + 7)))}{5 ({(a + 3)}^{2} (a - 3) (2 a^{2} + 7))}$

Schritt 5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 a^{3} ((a + 3) (2 a + 7))}{{(a + 3)}^{2} (a - 3) (2 a^{2} + 7)}$

Schritt 6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $a + 3$ und ${(a + 3)}^{2}$ .

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Schritt 6.1

Faktorisiere $a + 3$ aus $3 a^{3} ((a + 3) (2 a + 7))$ heraus.

$\frac{(a + 3) (3 a^{3} (2 a + 7))}{{(a + 3)}^{2} (a - 3) (2 a^{2} + 7)}$

Schritt 6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.1

Faktorisiere $a + 3$ aus ${(a + 3)}^{2} (a - 3) (2 a^{2} + 7)$ heraus.

$\frac{(a + 3) (3 a^{3} (2 a + 7))}{(a + 3) (((a + 3) (a - 3)) (2 a^{2} + 7))}$

Schritt 6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(a + 3) (3 a^{3} (2 a + 7))}{(a + 3) (((a + 3) (a - 3)) (2 a^{2} + 7))}$

Schritt 6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 a^{3} (2 a + 7)}{((a + 3) (a - 3)) (2 a^{2} + 7)}$

$\frac{3 a^{3} (2 a + 7)}{(a + 3) (a - 3) (2 a^{2} + 7)}$