Grundlegende Mathematik Beispiele

$\frac{16 a^{2} - 28 a + 12}{a^{4} - 3 a^{3}} \div \frac{3 - 4 a}{4 a^{3}} \cdot \frac{a - 3}{4 a - 4}$

Schritt 1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $4$ aus $16 a^{2} - 28 a + 12$ heraus.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $4$ aus $16 a^{2}$ heraus.

$\frac{4 (4 a^{2}) - 28 a + 12}{a^{4} - 3 a^{3}} \div \frac{3 - 4 a}{4 a^{3}} \cdot \frac{a - 3}{4 a - 4}$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $4$ aus $- 28 a$ heraus.

$\frac{4 (4 a^{2}) + 4 (- 7 a) + 12}{a^{4} - 3 a^{3}} \div \frac{3 - 4 a}{4 a^{3}} \cdot \frac{a - 3}{4 a - 4}$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$\frac{4 (4 a^{2}) + 4 (- 7 a) + 4 (3)}{a^{4} - 3 a^{3}} \div \frac{3 - 4 a}{4 a^{3}} \cdot \frac{a - 3}{4 a - 4}$

Schritt 1.1.4

Faktorisiere $4$ aus $4 (4 a^{2}) + 4 (- 7 a)$ heraus.

$\frac{4 (4 a^{2} - 7 a) + 4 (3)}{a^{4} - 3 a^{3}} \div \frac{3 - 4 a}{4 a^{3}} \cdot \frac{a - 3}{4 a - 4}$

Schritt 1.1.5

Faktorisiere $4$ aus $4 (4 a^{2} - 7 a) + 4 (3)$ heraus.

$\frac{4 (4 a^{2} - 7 a + 3)}{a^{4} - 3 a^{3}} \div \frac{3 - 4 a}{4 a^{3}} \cdot \frac{a - 3}{4 a - 4}$

Schritt 1.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 4 \cdot 3 = 12$ und deren Summe gleich $b = - 7$ ist.

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Schritt 1.2.1.1

Faktorisiere $- 7$ aus $- 7 a$ heraus.

$\frac{4 (4 a^{2} - 7 (a) + 3)}{a^{4} - 3 a^{3}} \div \frac{3 - 4 a}{4 a^{3}} \cdot \frac{a - 3}{4 a - 4}$

Schritt 1.2.1.2

Schreibe $- 7$ um als $- 3$ plus $- 4$

$\frac{4 (4 a^{2} + (- 3 - 4) a + 3)}{a^{4} - 3 a^{3}} \div \frac{3 - 4 a}{4 a^{3}} \cdot \frac{a - 3}{4 a - 4}$

Schritt 1.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 (4 a^{2} - 3 a - 4 a + 3)}{a^{4} - 3 a^{3}} \div \frac{3 - 4 a}{4 a^{3}} \cdot \frac{a - 3}{4 a - 4}$

Schritt 1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{4 ((4 a^{2} - 3 a) - 4 a + 3)}{a^{4} - 3 a^{3}} \div \frac{3 - 4 a}{4 a^{3}} \cdot \frac{a - 3}{4 a - 4}$

Schritt 1.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{4 (a (4 a - 3) - (4 a - 3))}{a^{4} - 3 a^{3}} \div \frac{3 - 4 a}{4 a^{3}} \cdot \frac{a - 3}{4 a - 4}$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $4 a - 3$ .

$\frac{4 ((4 a - 3) (a - 1))}{a^{4} - 3 a^{3}} \div \frac{3 - 4 a}{4 a^{3}} \cdot \frac{a - 3}{4 a - 4}$

$\frac{4 (4 a - 3) (a - 1)}{a^{4} - 3 a^{3}} \div \frac{3 - 4 a}{4 a^{3}} \cdot \frac{a - 3}{4 a - 4}$

Schritt 2

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $a^{3}$ aus $a^{4} - 3 a^{3}$ heraus.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $a^{3}$ aus $a^{4}$ heraus.

$\frac{4 (4 a - 3) (a - 1)}{a^{3} a - 3 a^{3}} \div \frac{3 - 4 a}{4 a^{3}} \cdot \frac{a - 3}{4 a - 4}$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $a^{3}$ aus $- 3 a^{3}$ heraus.

$\frac{4 (4 a - 3) (a - 1)}{a^{3} a + a^{3} \cdot - 3} \div \frac{3 - 4 a}{4 a^{3}} \cdot \frac{a - 3}{4 a - 4}$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $a^{3}$ aus $a^{3} a + a^{3} \cdot - 3$ heraus.

$\frac{4 (4 a - 3) (a - 1)}{a^{3} (a - 3)} \div \frac{3 - 4 a}{4 a^{3}} \cdot \frac{a - 3}{4 a - 4}$

Schritt 2.2

Faktorisiere $4$ aus $4 a - 4$ heraus.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4 a$ heraus.

$\frac{4 (4 a - 3) (a - 1)}{a^{3} (a - 3)} \div \frac{3 - 4 a}{4 a^{3}} \cdot \frac{a - 3}{4 (a) - 4}$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$\frac{4 (4 a - 3) (a - 1)}{a^{3} (a - 3)} \div \frac{3 - 4 a}{4 a^{3}} \cdot \frac{a - 3}{4 (a) + 4 (- 1)}$

Schritt 2.2.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (a) + 4 (- 1)$ heraus.

$\frac{4 (4 a - 3) (a - 1)}{a^{3} (a - 3)} \div \frac{3 - 4 a}{4 a^{3}} \cdot \frac{a - 3}{4 (a - 1)}$

Schritt 3

Um durch einen Bruch zu teilen, multipliziere mit seinem Kehrwert.

$\frac{4 (4 a - 3) (a - 1)}{a^{3} (a - 3)} \cdot \frac{4 a^{3}}{3 - 4 a} \cdot \frac{a - 3}{4 (a - 1)}$

Schritt 4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $a^{3}$ .

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Schritt 4.1

Faktorisiere $a^{3}$ aus $4 a^{3}$ heraus.

$\frac{4 (4 a - 3) (a - 1)}{a^{3} (a - 3)} \cdot \frac{a^{3} \cdot 4}{3 - 4 a} \cdot \frac{a - 3}{4 (a - 1)}$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 (4 a - 3) (a - 1)}{a^{3} (a - 3)} \cdot \frac{a^{3} \cdot 4}{3 - 4 a} \cdot \frac{a - 3}{4 (a - 1)}$

Schritt 4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 (4 a - 3) (a - 1)}{a - 3} \cdot \frac{4}{3 - 4 a} \cdot \frac{a - 3}{4 (a - 1)}$

Schritt 5

Mutltipliziere $\frac{4 (4 a - 3) (a - 1)}{a - 3}$ mit $\frac{4}{3 - 4 a}$ .

$\frac{4 (4 a - 3) (a - 1) \cdot 4}{(a - 3) (3 - 4 a)} \cdot \frac{a - 3}{4 (a - 1)}$

Schritt 6

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\frac{16 (4 a - 3) (a - 1)}{(a - 3) (3 - 4 a)} \cdot \frac{a - 3}{4 (a - 1)}$

Schritt 7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4 (a - 1)$ .

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Schritt 7.1

Faktorisiere $4 (a - 1)$ aus $16 (4 a - 3) (a - 1)$ heraus.

$\frac{4 (a - 1) (4 (4 a - 3))}{(a - 3) (3 - 4 a)} \cdot \frac{a - 3}{4 (a - 1)}$

Schritt 7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 (a - 1) (4 (4 a - 3))}{(a - 3) (3 - 4 a)} \cdot \frac{a - 3}{4 (a - 1)}$

Schritt 7.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 (4 a - 3)}{(a - 3) (3 - 4 a)} \cdot (a - 3)$

Schritt 8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $a - 3$ .

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Schritt 8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 (4 a - 3)}{(a - 3) (3 - 4 a)} \cdot (a - 3)$

Schritt 8.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 (4 a - 3)}{3 - 4 a}$

Schritt 9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4 a - 3$ und $3 - 4 a$ .

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Schritt 9.1

Faktorisiere $- 1$ aus $4 a$ heraus.

$\frac{4 (- (- 4 a) - 3)}{3 - 4 a}$

Schritt 9.2

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$\frac{4 (- (- 4 a) - 1 (3))}{3 - 4 a}$

Schritt 9.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (- 4 a) - 1 (3)$ heraus.

$\frac{4 (- (- 4 a + 3))}{3 - 4 a}$

Schritt 9.4

Schreibe $- (- 4 a + 3)$ als $- 1 (- 4 a + 3)$ um.

$\frac{4 (- 1 (- 4 a + 3))}{3 - 4 a}$

Schritt 9.5

Stelle die Terme um.

$\frac{4 (- 1 (- 4 a + 3))}{- 4 a + 3}$

Schritt 9.6

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 (- 1 (- 4 a + 3))}{- 4 a + 3}$

Schritt 9.7

Dividiere $4 \cdot (- 1)$ durch $1$ .

$4 \cdot (- 1)$

Schritt 10

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$- 4$