Grundlegende Mathematik Beispiele

$\frac{a^{2} - 7 a - 18}{4 a^{3}} \div \frac{a^{2} - 4 a - 45}{2 a^{3} - 4 a^{2}} \cdot \frac{a^{2} + 3 a - 10}{a^{2} - 4 a + 4}$

Schritt 1

Faktorisiere $a^{2} - 7 a - 18$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 18$ und deren Summe $- 7$ ist.

$- 9, 2$

Schritt 1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(a - 9) (a + 2)}{4 a^{3}} \div \frac{a^{2} - 4 a - 45}{2 a^{3} - 4 a^{2}} \cdot \frac{a^{2} + 3 a - 10}{a^{2} - 4 a + 4}$

Schritt 2

Faktorisiere $a^{2} - 4 a - 45$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 45$ und deren Summe $- 4$ ist.

$- 9, 5$

Schritt 2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(a - 9) (a + 2)}{4 a^{3}} \div \frac{(a - 9) (a + 5)}{2 a^{3} - 4 a^{2}} \cdot \frac{a^{2} + 3 a - 10}{a^{2} - 4 a + 4}$

Schritt 3

Faktorisiere $2 a^{2}$ aus $2 a^{3} - 4 a^{2}$ heraus.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $2 a^{2}$ aus $2 a^{3}$ heraus.

$\frac{(a - 9) (a + 2)}{4 a^{3}} \div \frac{(a - 9) (a + 5)}{2 a^{2} (a) - 4 a^{2}} \cdot \frac{a^{2} + 3 a - 10}{a^{2} - 4 a + 4}$

Schritt 3.2

Faktorisiere $2 a^{2}$ aus $- 4 a^{2}$ heraus.

$\frac{(a - 9) (a + 2)}{4 a^{3}} \div \frac{(a - 9) (a + 5)}{2 a^{2} (a) + 2 a^{2} (- 2)} \cdot \frac{a^{2} + 3 a - 10}{a^{2} - 4 a + 4}$

Schritt 3.3

Faktorisiere $2 a^{2}$ aus $2 a^{2} (a) + 2 a^{2} (- 2)$ heraus.

$\frac{(a - 9) (a + 2)}{4 a^{3}} \div \frac{(a - 9) (a + 5)}{2 a^{2} (a - 2)} \cdot \frac{a^{2} + 3 a - 10}{a^{2} - 4 a + 4}$

Schritt 4

Faktorisiere $a^{2} + 3 a - 10$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 4.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 10$ und deren Summe $3$ ist.

$- 2, 5$

Schritt 4.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(a - 9) (a + 2)}{4 a^{3}} \div \frac{(a - 9) (a + 5)}{2 a^{2} (a - 2)} \cdot \frac{(a - 2) (a + 5)}{a^{2} - 4 a + 4}$

Schritt 5

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 5.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{(a - 9) (a + 2)}{4 a^{3}} \div \frac{(a - 9) (a + 5)}{2 a^{2} (a - 2)} \cdot \frac{(a - 2) (a + 5)}{a^{2} - 4 a + 2^{2}}$

Schritt 5.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$4 a = 2 \cdot a \cdot 2$

Schritt 5.3

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{(a - 9) (a + 2)}{4 a^{3}} \div \frac{(a - 9) (a + 5)}{2 a^{2} (a - 2)} \cdot \frac{(a - 2) (a + 5)}{a^{2} - 2 \cdot a \cdot 2 + 2^{2}}$

Schritt 5.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = a$ und $b = 2$ .

$\frac{(a - 9) (a + 2)}{4 a^{3}} \div \frac{(a - 9) (a + 5)}{2 a^{2} (a - 2)} \cdot \frac{(a - 2) (a + 5)}{{(a - 2)}^{2}}$

Schritt 6

Vereinfache Terme.

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Schritt 6.1

Kombinieren.

$\frac{\frac{(a - 9) (a + 2)}{4 a^{3}} ((a - 2) (a + 5))}{\frac{(a - 9) (a + 5)}{2 a^{2} (a - 2)} {(a - 2)}^{2}}$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $a - 2$ und ${(a - 2)}^{2}$ .

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Schritt 6.2.1

Faktorisiere $a - 2$ aus $\frac{(a - 9) (a + 2)}{4 a^{3}} ((a - 2) (a + 5))$ heraus.

$\frac{(a - 2) (\frac{(a - 9) (a + 2)}{4 a^{3}} (a + 5))}{\frac{(a - 9) (a + 5)}{2 a^{2} (a - 2)} {(a - 2)}^{2}}$

Schritt 6.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.2.1

Faktorisiere $a - 2$ aus $\frac{(a - 9) (a + 5)}{2 a^{2} (a - 2)} {(a - 2)}^{2}$ heraus.

$\frac{(a - 2) (\frac{(a - 9) (a + 2)}{4 a^{3}} (a + 5))}{(a - 2) (\frac{(a - 9) (a + 5)}{2 a^{2} (a - 2)} (a - 2))}$

Schritt 6.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(a - 2) (\frac{(a - 9) (a + 2)}{4 a^{3}} (a + 5))}{(a - 2) (\frac{(a - 9) (a + 5)}{2 a^{2} (a - 2)} (a - 2))}$

Schritt 6.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{(a - 9) (a + 2)}{4 a^{3}} (a + 5)}{\frac{(a - 9) (a + 5)}{2 a^{2} (a - 2)} (a - 2)}$

Schritt 6.3

Faktorisiere $\frac{(a - 9) (a + 2)}{4 a^{3}}$ aus $\frac{\frac{(a - 9) (a + 2)}{4 a^{3}} (a + 5)}{\frac{(a - 9) (a + 5)}{2 a^{2} (a - 2)} (a - 2)}$ heraus.

$\frac{(a - 9) (a + 2)}{4 a^{3}} \cdot \frac{a + 5}{\frac{(a - 9) (a + 5)}{2 a^{2} (a - 2)} (a - 2)}$

Schritt 7

Faktorisiere $\frac{(a - 9) (a + 5)}{2 a^{2} (a - 2)}$ aus $\frac{a + 5}{\frac{(a - 9) (a + 5)}{2 a^{2} (a - 2)} (a - 2)}$ heraus.

$\frac{(a - 9) (a + 2)}{4 a^{3}} (\frac{2 a^{2} (a - 2)}{(a - 9) (a + 5)} \cdot \frac{a + 5}{a - 2})$

Schritt 8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $a - 2$ .

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Schritt 8.1

Faktorisiere $a - 2$ aus $2 a^{2} (a - 2)$ heraus.

$\frac{(a - 9) (a + 2)}{4 a^{3}} (\frac{(a - 2) (2 a^{2})}{(a - 9) (a + 5)} \cdot \frac{a + 5}{a - 2})$

Schritt 8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(a - 9) (a + 2)}{4 a^{3}} (\frac{(a - 2) (2 a^{2})}{(a - 9) (a + 5)} \cdot \frac{a + 5}{a - 2})$

Schritt 8.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(a - 9) (a + 2)}{4 a^{3}} (\frac{2 a^{2}}{(a - 9) (a + 5)} (a + 5))$

Schritt 9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $a + 5$ .

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Schritt 9.1

Faktorisiere $a + 5$ aus $(a - 9) (a + 5)$ heraus.

$\frac{(a - 9) (a + 2)}{4 a^{3}} (\frac{2 a^{2}}{(a + 5) (a - 9)} (a + 5))$

Schritt 9.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(a - 9) (a + 2)}{4 a^{3}} (\frac{2 a^{2}}{(a + 5) (a - 9)} (a + 5))$

Schritt 9.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(a - 9) (a + 2)}{4 a^{3}} \cdot \frac{2 a^{2}}{a - 9}$

Schritt 10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $a - 9$ .

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Schritt 10.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(a - 9) (a + 2)}{4 a^{3}} \cdot \frac{2 a^{2}}{a - 9}$

Schritt 10.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{a + 2}{4 a^{3}} (2 a^{2})$

Schritt 11

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 a^{2}$ .

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Schritt 11.1

Faktorisiere $2 a^{2}$ aus $4 a^{3}$ heraus.

$\frac{a + 2}{2 a^{2} (2 a)} (2 a^{2})$

Schritt 11.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{a + 2}{2 a^{2} (2 a)} (2 a^{2})$

Schritt 11.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{a + 2}{2 a}$