Grundlegende Mathematik Beispiele

$\frac{a^{2} - 6 a + 9}{a^{2} - a - 12} \div \frac{a^{2} - a - 6}{a^{2} + 4 a + 4}$

Schritt 1

Um durch einen Bruch zu teilen, multipliziere mit seinem Kehrwert.

$\frac{a^{2} - 6 a + 9}{a^{2} - a - 12} \cdot \frac{a^{2} + 4 a + 4}{a^{2} - a - 6}$

Schritt 2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 2.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{a^{2} - 6 a + 3^{2}}{a^{2} - a - 12} \cdot \frac{a^{2} + 4 a + 4}{a^{2} - a - 6}$

Schritt 2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$6 a = 2 \cdot a \cdot 3$

Schritt 2.3

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{a^{2} - 2 \cdot a \cdot 3 + 3^{2}}{a^{2} - a - 12} \cdot \frac{a^{2} + 4 a + 4}{a^{2} - a - 6}$

Schritt 2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = a$ und $b = 3$ .

$\frac{{(a - 3)}^{2}}{a^{2} - a - 12} \cdot \frac{a^{2} + 4 a + 4}{a^{2} - a - 6}$

Schritt 3

Faktorisiere $a^{2} - a - 12$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 12$ und deren Summe $- 1$ ist.

$- 4, 3$

Schritt 3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{{(a - 3)}^{2}}{(a - 4) (a + 3)} \cdot \frac{a^{2} + 4 a + 4}{a^{2} - a - 6}$

Schritt 4

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 4.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{{(a - 3)}^{2}}{(a - 4) (a + 3)} \cdot \frac{a^{2} + 4 a + 2^{2}}{a^{2} - a - 6}$

Schritt 4.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$4 a = 2 \cdot a \cdot 2$

Schritt 4.3

Schreibe das Polynom neu.

$\frac{{(a - 3)}^{2}}{(a - 4) (a + 3)} \cdot \frac{a^{2} + 2 \cdot a \cdot 2 + 2^{2}}{a^{2} - a - 6}$

Schritt 4.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = a$ und $b = 2$ .

$\frac{{(a - 3)}^{2}}{(a - 4) (a + 3)} \cdot \frac{{(a + 2)}^{2}}{a^{2} - a - 6}$

Schritt 5

Faktorisiere $a^{2} - a - 6$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 5.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 6$ und deren Summe $- 1$ ist.

$- 3, 2$

Schritt 5.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{{(a - 3)}^{2}}{(a - 4) (a + 3)} \cdot \frac{{(a + 2)}^{2}}{(a - 3) (a + 2)}$

Schritt 6

Vereinfache Terme.

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Schritt 6.1

Kombinieren.

$\frac{{(a - 3)}^{2} {(a + 2)}^{2}}{(a - 4) (a + 3) ((a - 3) (a + 2))}$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(a - 3)}^{2}$ und $a - 3$ .

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Schritt 6.2.1

Faktorisiere $a - 3$ aus ${(a - 3)}^{2} {(a + 2)}^{2}$ heraus.

$\frac{(a - 3) ((a - 3) {(a + 2)}^{2})}{(a - 4) (a + 3) ((a - 3) (a + 2))}$

Schritt 6.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.2.1

Faktorisiere $a - 3$ aus $(a - 4) (a + 3) ((a - 3) (a + 2))$ heraus.

$\frac{(a - 3) ((a - 3) {(a + 2)}^{2})}{(a - 3) ((a - 4) (a + 3) (a + 2))}$

Schritt 6.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(a - 3) ((a - 3) {(a + 2)}^{2})}{(a - 3) ((a - 4) (a + 3) (a + 2))}$

Schritt 6.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(a - 3) {(a + 2)}^{2}}{(a - 4) (a + 3) (a + 2)}$

Schritt 6.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(a + 2)}^{2}$ und $a + 2$ .

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Schritt 6.3.1

Faktorisiere $a + 2$ aus $(a - 3) {(a + 2)}^{2}$ heraus.

$\frac{(a + 2) ((a - 3) (a + 2))}{(a - 4) (a + 3) (a + 2)}$

Schritt 6.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.3.2.1

Faktorisiere $a + 2$ aus $(a - 4) (a + 3) (a + 2)$ heraus.

$\frac{(a + 2) ((a - 3) (a + 2))}{(a + 2) ((a - 4) (a + 3))}$

Schritt 6.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(a + 2) ((a - 3) (a + 2))}{(a + 2) ((a - 4) (a + 3))}$

Schritt 6.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(a - 3) (a + 2)}{(a - 4) (a + 3)}$