Grundlegende Mathematik Beispiele

$\frac{a^{2} - 4 a - 21}{a^{2 - 6} a + 8} \cdot \frac{a - 4}{a^{2} - 2 a - 35}$

Schritt 1

Faktorisiere $a^{2} - 4 a - 21$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 21$ und deren Summe $- 4$ ist.

$- 7, 3$

Schritt 1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(a - 7) (a + 3)}{a^{2 - 6} a + 8} \cdot \frac{a - 4}{a^{2} - 2 a - 35}$

Schritt 2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1

Multipliziere $a^{2 - 6}$ mit $a$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.1.1

Mutltipliziere $a^{2 - 6}$ mit $a$ .

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Schritt 2.1.1.1

Potenziere $a$ mit $1$ .

$\frac{(a - 7) (a + 3)}{a^{2 - 6} a^{1} + 8} \cdot \frac{a - 4}{a^{2} - 2 a - 35}$

Schritt 2.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{(a - 7) (a + 3)}{a^{2 - 6 + 1} + 8} \cdot \frac{a - 4}{a^{2} - 2 a - 35}$

Schritt 2.1.2

Subtrahiere $6$ von $2$ .

$\frac{(a - 7) (a + 3)}{a^{- 4 + 1} + 8} \cdot \frac{a - 4}{a^{2} - 2 a - 35}$

Schritt 2.1.3

Addiere $- 4$ und $1$ .

$\frac{(a - 7) (a + 3)}{a^{- 3} + 8} \cdot \frac{a - 4}{a^{2} - 2 a - 35}$

Schritt 2.2

Schreibe $a^{- 3}$ als ${(a^{- 1})}^{3}$ um.

$\frac{(a - 7) (a + 3)}{{(a^{- 1})}^{3} + 8} \cdot \frac{a - 4}{a^{2} - 2 a - 35}$

Schritt 2.3

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$\frac{(a - 7) (a + 3)}{{(a^{- 1})}^{3} + 2^{3}} \cdot \frac{a - 4}{a^{2} - 2 a - 35}$

Schritt 2.4

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = a^{- 1}$ und $b = 2$ .

$\frac{(a - 7) (a + 3)}{(a^{- 1} + 2) ({(a^{- 1})}^{2} - a^{- 1} \cdot 2 + 2^{2})} \cdot \frac{a - 4}{a^{2} - 2 a - 35}$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(a - 7) (a + 3)}{(\frac{1}{a} + 2) ({(a^{- 1})}^{2} - a^{- 1} \cdot 2 + 2^{2})} \cdot \frac{a - 4}{a^{2} - 2 a - 35}$

Schritt 2.5.2

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{a}{a}$ .

$\frac{(a - 7) (a + 3)}{(\frac{1}{a} + \frac{2 a}{a}) ({(a^{- 1})}^{2} - a^{- 1} \cdot 2 + 2^{2})} \cdot \frac{a - 4}{a^{2} - 2 a - 35}$

Schritt 2.5.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(a - 7) (a + 3)}{\frac{1 + 2 a}{a} ({(a^{- 1})}^{2} - a^{- 1} \cdot 2 + 2^{2})} \cdot \frac{a - 4}{a^{2} - 2 a - 35}$

Schritt 2.5.4

Multipliziere die Exponenten in ${(a^{- 1})}^{2}$ .

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Schritt 2.5.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{(a - 7) (a + 3)}{\frac{1 + 2 a}{a} (a^{- 1 \cdot 2} - a^{- 1} \cdot 2 + 2^{2})} \cdot \frac{a - 4}{a^{2} - 2 a - 35}$

Schritt 2.5.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{(a - 7) (a + 3)}{\frac{1 + 2 a}{a} (a^{- 2} - a^{- 1} \cdot 2 + 2^{2})} \cdot \frac{a - 4}{a^{2} - 2 a - 35}$

Schritt 2.5.5

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(a - 7) (a + 3)}{\frac{1 + 2 a}{a} (\frac{1}{a^{2}} - a^{- 1} \cdot 2 + 2^{2})} \cdot \frac{a - 4}{a^{2} - 2 a - 35}$

Schritt 2.5.6

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(a - 7) (a + 3)}{\frac{1 + 2 a}{a} (\frac{1}{a^{2}} - \frac{1}{a} \cdot 2 + 2^{2})} \cdot \frac{a - 4}{a^{2} - 2 a - 35}$

Schritt 2.5.7

Multipliziere $- \frac{1}{a} \cdot 2$ .

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Schritt 2.5.7.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{(a - 7) (a + 3)}{\frac{1 + 2 a}{a} (\frac{1}{a^{2}} - 2 \frac{1}{a} + 2^{2})} \cdot \frac{a - 4}{a^{2} - 2 a - 35}$

Schritt 2.5.7.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{a}$ .

$\frac{(a - 7) (a + 3)}{\frac{1 + 2 a}{a} (\frac{1}{a^{2}} + \frac{- 2}{a} + 2^{2})} \cdot \frac{a - 4}{a^{2} - 2 a - 35}$

Schritt 2.5.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{(a - 7) (a + 3)}{\frac{1 + 2 a}{a} (\frac{1}{a^{2}} - \frac{2}{a} + 2^{2})} \cdot \frac{a - 4}{a^{2} - 2 a - 35}$

Schritt 2.5.9

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{(a - 7) (a + 3)}{\frac{1 + 2 a}{a} (\frac{1}{a^{2}} - \frac{2}{a} + 4)} \cdot \frac{a - 4}{a^{2} - 2 a - 35}$

Schritt 2.5.10

Um $- \frac{2}{a}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{a}{a}$ .

$\frac{(a - 7) (a + 3)}{\frac{1 + 2 a}{a} (\frac{1}{a^{2}} - \frac{2}{a} \cdot \frac{a}{a} + 4)} \cdot \frac{a - 4}{a^{2} - 2 a - 35}$

Schritt 2.5.11

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $a^{2}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.5.11.1

Mutltipliziere $\frac{2}{a}$ mit $\frac{a}{a}$ .

$\frac{(a - 7) (a + 3)}{\frac{1 + 2 a}{a} (\frac{1}{a^{2}} - \frac{2 a}{a \cdot a} + 4)} \cdot \frac{a - 4}{a^{2} - 2 a - 35}$

Schritt 2.5.11.2

Potenziere $a$ mit $1$ .

$\frac{(a - 7) (a + 3)}{\frac{1 + 2 a}{a} (\frac{1}{a^{2}} - \frac{2 a}{a^{1} a} + 4)} \cdot \frac{a - 4}{a^{2} - 2 a - 35}$

Schritt 2.5.11.3

Potenziere $a$ mit $1$ .

$\frac{(a - 7) (a + 3)}{\frac{1 + 2 a}{a} (\frac{1}{a^{2}} - \frac{2 a}{a^{1} a^{1}} + 4)} \cdot \frac{a - 4}{a^{2} - 2 a - 35}$

Schritt 2.5.11.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{(a - 7) (a + 3)}{\frac{1 + 2 a}{a} (\frac{1}{a^{2}} - \frac{2 a}{a^{1 + 1}} + 4)} \cdot \frac{a - 4}{a^{2} - 2 a - 35}$

Schritt 2.5.11.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{(a - 7) (a + 3)}{\frac{1 + 2 a}{a} (\frac{1}{a^{2}} - \frac{2 a}{a^{2}} + 4)} \cdot \frac{a - 4}{a^{2} - 2 a - 35}$

Schritt 2.5.12

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(a - 7) (a + 3)}{\frac{1 + 2 a}{a} (\frac{1 - 2 a}{a^{2}} + 4)} \cdot \frac{a - 4}{a^{2} - 2 a - 35}$

Schritt 2.5.13

Um $4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{a^{2}}{a^{2}}$ .

$\frac{(a - 7) (a + 3)}{\frac{1 + 2 a}{a} (\frac{1 - 2 a}{a^{2}} + \frac{4 a^{2}}{a^{2}})} \cdot \frac{a - 4}{a^{2} - 2 a - 35}$

Schritt 2.5.14

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(a - 7) (a + 3)}{\frac{1 + 2 a}{a} \cdot \frac{1 - 2 a + 4 a^{2}}{a^{2}}} \cdot \frac{a - 4}{a^{2} - 2 a - 35}$

Schritt 3

Mutltipliziere $\frac{1 + 2 a}{a}$ mit $\frac{1 - 2 a + 4 a^{2}}{a^{2}}$ .

$\frac{(a - 7) (a + 3)}{\frac{(1 + 2 a) (1 - 2 a + 4 a^{2})}{a \cdot a^{2}}} \cdot \frac{a - 4}{a^{2} - 2 a - 35}$

Schritt 4

Multipliziere $a$ mit $a^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $a$ mit $a^{2}$ .

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Schritt 4.1.1

Potenziere $a$ mit $1$ .

$\frac{(a - 7) (a + 3)}{\frac{(1 + 2 a) (1 - 2 a + 4 a^{2})}{a^{1} a^{2}}} \cdot \frac{a - 4}{a^{2} - 2 a - 35}$

Schritt 4.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{(a - 7) (a + 3)}{\frac{(1 + 2 a) (1 - 2 a + 4 a^{2})}{a^{1 + 2}}} \cdot \frac{a - 4}{a^{2} - 2 a - 35}$

Schritt 4.2

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{(a - 7) (a + 3)}{\frac{(1 + 2 a) (1 - 2 a + 4 a^{2})}{a^{3}}} \cdot \frac{a - 4}{a^{2} - 2 a - 35}$

Schritt 5

Faktorisiere $a^{2} - 2 a - 35$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 5.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 35$ und deren Summe $- 2$ ist.

$- 7, 5$

Schritt 5.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(a - 7) (a + 3)}{\frac{(1 + 2 a) (1 - 2 a + 4 a^{2})}{a^{3}}} \cdot \frac{a - 4}{(a - 7) (a + 5)}$

Schritt 6

Vereinfache Terme.

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Schritt 6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $a - 7$ .

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Schritt 6.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(a - 7) (a + 3)}{\frac{(1 + 2 a) (1 - 2 a + 4 a^{2})}{a^{3}}} \cdot \frac{a - 4}{(a - 7) (a + 5)}$

Schritt 6.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{a + 3}{\frac{(1 + 2 a) (1 - 2 a + 4 a^{2})}{a^{3}}} \cdot \frac{a - 4}{a + 5}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $\frac{a + 3}{\frac{(1 + 2 a) (1 - 2 a + 4 a^{2})}{a^{3}}}$ mit $\frac{a - 4}{a + 5}$ .

$\frac{(a + 3) (a - 4)}{\frac{(1 + 2 a) (1 - 2 a + 4 a^{2})}{a^{3}} (a + 5)}$

Schritt 7

Faktorisiere $\frac{(1 + 2 a) (1 - 2 a + 4 a^{2})}{a^{3}}$ aus $\frac{(a + 3) (a - 4)}{\frac{(1 + 2 a) (1 - 2 a + 4 a^{2})}{a^{3}} (a + 5)}$ heraus.

$\frac{a^{3}}{(1 + 2 a) (1 - 2 a + 4 a^{2})} \cdot \frac{(a + 3) (a - 4)}{a + 5}$

Schritt 8

Mutltipliziere $\frac{a^{3}}{(1 + 2 a) (1 - 2 a + 4 a^{2})}$ mit $\frac{(a + 3) (a - 4)}{a + 5}$ .

$\frac{a^{3} (a + 3) (a - 4)}{(1 + 2 a) (1 - 2 a + 4 a^{2}) (a + 5)}$