Grundlegende Mathematik Beispiele

$\frac{a^{2} + 7 a + 12}{a^{2} - 9} \div \frac{a^{2} - 7 a + 12}{a^{2} - 16}$

Schritt 1

Um durch einen Bruch zu teilen, multipliziere mit seinem Kehrwert.

$\frac{a^{2} + 7 a + 12}{a^{2} - 9} \cdot \frac{a^{2} - 16}{a^{2} - 7 a + 12}$

Schritt 2

Faktorisiere $a^{2} + 7 a + 12$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $12$ und deren Summe $7$ ist.

$3, 4$

Schritt 2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(a + 3) (a + 4)}{a^{2} - 9} \cdot \frac{a^{2} - 16}{a^{2} - 7 a + 12}$

Schritt 3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{(a + 3) (a + 4)}{a^{2} - 3^{2}} \cdot \frac{a^{2} - 16}{a^{2} - 7 a + 12}$

Schritt 3.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = a$ und $b = 3$ .

$\frac{(a + 3) (a + 4)}{(a + 3) (a - 3)} \cdot \frac{a^{2} - 16}{a^{2} - 7 a + 12}$

Schritt 4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $a + 3$ .

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(a + 3) (a + 4)}{(a + 3) (a - 3)} \cdot \frac{a^{2} - 16}{a^{2} - 7 a + 12}$

Schritt 4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{a + 4}{a - 3} \cdot \frac{a^{2} - 16}{a^{2} - 7 a + 12}$

Schritt 5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$\frac{a + 4}{a - 3} \cdot \frac{a^{2} - 4^{2}}{a^{2} - 7 a + 12}$

Schritt 5.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = a$ und $b = 4$ .

$\frac{a + 4}{a - 3} \cdot \frac{(a + 4) (a - 4)}{a^{2} - 7 a + 12}$

Schritt 6

Faktorisiere $a^{2} - 7 a + 12$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 6.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $12$ und deren Summe $- 7$ ist.

$- 4, - 3$

Schritt 6.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{a + 4}{a - 3} \cdot \frac{(a + 4) (a - 4)}{(a - 4) (a - 3)}$

Schritt 7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $a - 4$ .

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Schritt 7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{a + 4}{a - 3} \cdot \frac{(a + 4) (a - 4)}{(a - 4) (a - 3)}$

Schritt 7.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{a + 4}{a - 3} \cdot \frac{a + 4}{a - 3}$

Schritt 8

Multipliziere $\frac{a + 4}{a - 3} \cdot \frac{a + 4}{a - 3}$ .

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Schritt 8.1

Mutltipliziere $\frac{a + 4}{a - 3}$ mit $\frac{a + 4}{a - 3}$ .

$\frac{(a + 4) (a + 4)}{(a - 3) (a - 3)}$

Schritt 8.2

Potenziere $a + 4$ mit $1$ .

$\frac{{(a + 4)}^{1} (a + 4)}{(a - 3) (a - 3)}$

Schritt 8.3

Potenziere $a + 4$ mit $1$ .

$\frac{{(a + 4)}^{1} {(a + 4)}^{1}}{(a - 3) (a - 3)}$

Schritt 8.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{(a + 4)}^{1 + 1}}{(a - 3) (a - 3)}$

Schritt 8.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{{(a + 4)}^{2}}{(a - 3) (a - 3)}$

Schritt 8.6

Potenziere $a - 3$ mit $1$ .

$\frac{{(a + 4)}^{2}}{{(a - 3)}^{1} (a - 3)}$

Schritt 8.7

Potenziere $a - 3$ mit $1$ .

$\frac{{(a + 4)}^{2}}{{(a - 3)}^{1} {(a - 3)}^{1}}$

Schritt 8.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{(a + 4)}^{2}}{{(a - 3)}^{1 + 1}}$

Schritt 8.9

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{{(a + 4)}^{2}}{{(a - 3)}^{2}}$